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  • 二进制二进制的数学第2版(图灵出品)¥41

    一、二进制

    二进制是指数学和数字电路中的base-2编号系统,base-2表示系统是二进制的。在这个系统中,它通常用两个不同的数字来表示,0和1。

    二进制是计算机系统的基础。在数字电子电路中,逻辑门直接使用二进制。因此,现代计算机和依赖计算机的设备使用二进制。每个数字称为一个位(Bit,Binary digit 的缩写)。

    (二进制)

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    二、余数

    余数是指整数除法中被除数中未被除的部分,余数的取值范围为0到除数(不包括除数本身)。余数运算 a mod b = c (b is not 0) 表示将整数 a 除以整数 b 得到的余数是 c。例如:32÷5= 6…2,更专业的记法可以也可以写成 32÷5= 6 和 2/5,或 32 mod 5=2。

    但不要小看其余部分数字逻辑电路有什么用,无论是在日常生活中,还是在计算机领域,它都发挥着重要作用。当然,计算机中的大多数剩余思想都用于许多常见的算法和数据结构中,并且您可能在不知情的情况下使用它。

    (剩余部分)

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    三、布尔代数

    布尔代数是集合运算和逻辑运算的公式:<B, ∨, ∧, ¬>。其中B是非空集合,∨和∧是定义在B上的两个二元运算,¬是定义在B上的一元运算。通过布尔代数的集合运算可以得到不同集合的交集、并集或补集,以及逻辑运算可以在不同的集合上执行 AND、OR 和 NOT。

    可以说,布尔代数是编程中控制逻辑的灵魂。因为真值在逻辑电路中可以表示为二进制数或电平,并且这种相似性也延伸到它们数字逻辑电路有什么用,布尔代数在电气工程和计算机科学中的实际应用与在数理逻辑中一样多。电气工程专业的布尔代数也称为逻辑代数,计算机科学专业的布尔代数也称为布尔逻辑。

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    四、迭代

    迭代是重复反馈过程的活动,通常旨在接近并达到预期的目标或结果。过程的每次重复称为一次“迭代”,每次迭代的结果作为下一次迭代的初始值。

    数学中的迭代可以指函数迭代的过程,即重复使用同一个函数进行计算,将上一次迭代得到的结果作为下一次迭代的输入。

    在计算机科学中,迭代是程序中一组指令(或某些步骤)的重复。它既可以用作通用术语(与“重复”同义),也可以用于描述具有可变状态的特定重复形式。

    将迭代方法与计算机强大的处理能力相结合,我们可以创建有价值的数据结构和算法。

    (五边形的迭代。用直线段连接对角线,得到一个中心有一个小的倒五边形的五角星。迭代地执行此操作会产生一系列嵌套的五边形多边形和五角星。)

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    五、递归

    递归,在数学和计算机科学中,是指在函数定义中使用函数本身的方法。递归一词也更常用于描述以自相似方式重复事物的过程。例如,当两个镜子彼此近似平行时,镜子中嵌套的图像以无限递归的形式出现。也可以理解为自我复制的过程。

    程序调用自身的编程技巧称为递归。递归作为一种算法在编程语言中被广泛使用。一个过程或函数在其定义或描述中具有直接或间接调用自身的方法,通常将一个大而复杂的问题转化为一个类似于原始问题的较小问题来解决。递归策略只需少量程序即可描述解题过程所需的重复计算,大大减少了程序的代码量。

    递归的力量在于用有限的语句定义无限的对象集。一般来说,递归需要边界条件、递归前向段和递归返回段。当边界条件不满足时,递归进行;当满足边界条件时,递归返回。

    (Drost 效应是一种递归的视觉形式。图片中女人所持的物品中,有一张她自己拿着同一个物品的小图片,而在小图片中,还有一张她拿着同一个物品的小图片,根据以此类推。)

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    六、数学归纳法

    数学归纳法 (MI, ID) 是一种数学证明方法,通常用于证明给定命题适用于整个(或部分)自然数范围。除了自然数之外,广义上的数学归纳法也可以用来证明一般的有根据的结构,例如集合论中的树。这种广泛应用于数理逻辑和计算机科学领域的数学归纳法称为结构归纳法。

    (多米诺骨牌效应:多米诺骨牌一个接一个地倒下,就像从一个值到下一个值的过程)

    迭代和递归,以及它们相关的数学归纳法,与基本编程密切相关。迭代和递归都是计算值或通过重复步骤执行操作的方法。迭代一般适合正向思考,而递归一般适合逆向思考。在递归回溯的时候,也体现了前向递归的思想。它们本身就是抽象的过程,可以通过不同的编程来实现。

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    七、排列组合

    置换,一般从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素,按一定的顺序排列成一列,称为从n个元素中取m个元素的置换。特别是当 m=n 时,这种排列称为全排列。

    组合是一个数学术语。一般从n个不同元素中取任意m个(m≤n)个元素为一组,称为n个不同元素中m个元素的组合。我们把寻找组合数量的问题称为组合问题。

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    八、动态编程

    动态规划(DP)是数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的一种方法,通过将原始问题分解为相对简单的子问题来解决复杂问题。它是解决优化决策过程的过程。

    1950年代初,美国数学家贝尔曼等人在研究多阶段决策过程的最优化问题时,提出了著名的最优化原理,从而创造了动态规划。动态规划可以减少不必要的排列组合,最终大大提高算法的性能。

    (算法中的动态规划问题)

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    九、树

    树是图论中最重要的概念之一,也是一种数据结构。它由 n(n>=1) 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。称它为“树”是因为它看起来像一棵倒置的树,这意味着它有根向上,并且叶下来。

    它具有以下特点:每个节点有零个或多个子节点;没有父节点的节点称为根节点;每个非根节点都有一个且只有一个父节点;除了根节点之外,每个子节点还可以分成多个不相交的子树。

    (数据结构中的树形存储结构)

    十、图片

    在数学的分支图论中,图用来表示对象之间的关系,是图论的基本研究对象。图由小点(称为顶点或节点)和连接这些点的线或曲线(称为边)组成。

    图是比线性表和树更复杂的多对多数据结构。它由有限的非空顶点集和顶点之间的边集组成,通常表示为:G(V,E),其中,G表示一个图,V是图G中的顶点集,E是图 G 中的边集。

    (一个有六个顶点和七个边的图)

    ——

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