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  • 1.5组合优化经典问题多维背包问题(QAP)

    优化模型

    1.1 数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

    1.2 微分方程系统模型

    生长迟缓模型,SARS传播模型。

    1.3 图论和网络优化问题

    最短路径问题、网络最大流量问题、最小成本最大流量问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图着色问题。

    1.4 个概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机种群模型、报童问题、马尔可夫链模型。

    1.5 组合优化的经典问题

    1.5.1 多维背包问题(MKP)

    背包问题:对于物品,对于物品,体积是 ,背包的容量是 。如何将尽可能多的物品装入背包。

    多维背包问题:对于物品,对于物品,价值是 ,体积是 ,背包容量是 。如何选择物品放入背包是背包中物品的最大值。

    多维背包问题的实际应用包括:资源分配、货物装载和存储分配。这个问题是个难题。

    1.5.2 二维分配问题(QAP)

    工作分配问题:每个工作可以由每个工人单独完成。工人完成工作的时间是 。如何安排最小化总工作时间。

    二维分配问题(常以机器布局问题为例):一台机器要布置在一个地方,机器与机器之间的物流量为 ,该位置与机器之间的距离为 ,如何分配将成本安排到最低限度。

    二维分配问题的实际应用包括:校园建筑的布局、医院科室的布置、群技术中处理中心的构成等。

    1.5.3 旅行商问题 (TSP)

    旅行商问题:有一座城市,城市与城市之间的距离为 ,找一条途经城市的游(每个城市只经过一次,最后返回起点),这样总距离为最小的。

    1.5.4 车辆路径问题(VRP)

    车辆路径问题(也称车辆规划):了解每个客户的位置坐标和货物需求,在可用车辆数量和承载能力的约束条件下,每辆车从起点出发,完成配送任务的几个客户点。然后回到起点,要求以最少的车辆数量和最少的车辆总行程完成货物的交付。

    TSP 问题是 VRP 问题的一个特例。

    1.5.5 作业车间调度问题 (JSP)

    车间调度问题:有作业和机器,每个作业由一系列工序组成,工序的执行顺序遵循严格的序列顺序,每个工序都需要特定的机器在特定的时间完成,每台机器在特定时间执行。不同的作业不能同时完成,同一个作业的各种操作不能同时执行。如何找到从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

    分类模型

    判别分析是将已知的研究对象划分为若干类型,得到一批已知的各种类型样本的观测数据。

    聚类分析是给定批次的样本,要划分的类型未知,需要通过局内分析确定类型。

    2.1 判别分析2.1.1 距离判别法

    基本思路:首先根据已知的分类数据,计算出每一类的重心,即分组(类)的均值。该标准是对任何给定类别的观察。如果它最接近头等舱的重心,则认为它来自头等舱。种类。

    至于距离的测量,可以根据实际需要采用欧几里得距离、马氏距离、明科夫距离等。

    2.1.2 Fisher 检验

    其基本思想是从两个总体中提取具有两个指标的样本观测数据,借助方差分析的思想构造一个判别函数或判别式。系数确定的原则是最大化两组之间的差异,最小化每组内的离散度。

    对于一个新样本,将其p指标值代入判别式中求出y值,然后与判别式临界值(或分界点(后文给出)进行比较,以确定它应该属于哪个总体。假设下两个整体先验概率相等,临界值一般取为:

    最后用统计量检验判别效果,如果判别有效,否则判别无效。

    以上描述的是二群体判别,多群体判别方法需要扩展。

    Fisher判别法随着人口的增加而增加,建立的判别式也增加,因此计算更加复杂。

    2.1.3 贝叶斯判别

    基本思想:假设你对所研究的对象有一定的了解,即假设在一个种群中,第一个种群的先验概率为 ,概率密度函数为 。使用贝叶斯公式计算观察到的样本来自第一个总体的后验概率。此时,样本被判断为总体。

    2.1.4 逐步判别

    基本思想类似于逐步回归方法。采用“进出”的算法,逐步引入变量。每次将一个变量引入判别式时,一些在较早引入判别式时不显着的变量被认为是消除的。.

    2.2 聚类分析

    聚类分析是一种无监督的分类方法,即没有预先指定类别。

    根据分类对象的不同,聚类分析可分为样本聚类(Q型)和变量聚类(R型)。样本聚类是对观察到的样本进行分类,而变量聚类是在不丢失大部分信息的情况下,试图找到相互独立且具有代表性的自变量。变量聚类是一种降维方法。

    2.2.1 系统聚类法(层次聚类法)

    基本思想:开始将每个样本分类为一个类;然后求两者之间的距离,将距离最近的两个类合并为一个类;重复此操作,直到所有样本都归为一类。

    适用范围:适用于样本聚类和变量聚类。并且有多种距离分类标准和距离计算方法,可以根据具体情况进行选择。

    2.2.2 快速聚类方法(K-means聚类方法)

    基本思路:根据指定的分类数,选择一个初始聚类中心;计算每个观测值(样本)到每个聚类中心的距离,按照就近原则进行分类;重新计算聚类中心,继续上述步骤;满足停止条件(如最大迭代次数等)时停止。

    使用范围:要求用户指定类别数,仅适用于样本聚类(Q型),不适用于变量聚类(R型)。

    2.2.3 两步聚类法(智能聚类法)

    基本思想:先进行预聚类,再进行形式聚类。

    适用范围:属于智能聚类方法,用于解决海量数据或复杂类别结构的聚类分析问题。它可以同时处理离散和连续变量,自动选择聚类数,可以处理大样本量的数据。

    2.2.4 模糊聚类分析2.2.5 结合遗传算法、神经网络或灰色理论的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    评价模型

    3.1 层次分析法 (AHP)

    基本思想:定性与定量相结合的多准则决策评价方法。将决策的相关要素分解为目标层、准则层和计划层,通过人的判断对决策计划的优劣进行排序,并在此基础上进行定性和定量分析. 它对人的思维过程进行分层和量化,利用数学为分析、决策、评价、预测和控制提供量化依据。

    基本步骤:构建层次结构模型;构造成对比较矩阵;分层单排序和一致性检查(即判断主观构建的成对比较矩阵整体是否具有良好的一致性);分层总排名和一致性检查(检查级别之间的一致性)。

    优点:完全依靠主观评价对节目优劣进行排名,所需数据量小,决策时间很短。总体而言,层次分析法在复杂的决策过程中引入了定量分析,充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析和决策支持,不仅有效吸收了定性分析的结果,而且也起到定量分析的作用。分析的优点,使决策过程具有高度的组织性和科学性,特别适用于社会经济系统的决策分析。

    缺点:层次分析法的决策是高度主观的。当决策者的判断受主观偏好影响过大,导致客观规律出现一定扭曲时,层次分析法的结果显然不可靠。

    适用范围:特别适用于人的定性判断起重要作用,难以直接准确衡量决策结果的场合。为了使层次分析法的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对自己面临的问题有更深入、更全面的认识。此外,当遇到多因素的大规模评价问题时,模型容易出现问题。它要求评估者对问题的本质、包含的要素以及它们之间的逻辑关系有非常透彻的把握。否则,评价结果是不可靠和不准确的。

    改进方法:

    (1) 可以使用Delphi方法得到成对比较矩阵。

    (2)如果评价指标过多(通常超过9个),使用层次分析法得到的权重会有一定的偏差,那么组合评价模型的结果就不再可靠。根据根据实际情况和特点,采用一定的方法,对原有指标进行分层分类,使每一层的指标数量少于9个。

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联分析)

    基本思想:灰色关联分析的本质是利用各个方案与最优方案之间的关联度对评价对象进行比较和排序。相关度越大,对比序列与参考序列的变化趋势越一致完全背包问题算法,反之,则变化趋势相反。由此,可以获得评价结果。

    基本步骤:建立原始索引矩阵;确定最优索引序列;进行指标标准化或无量纲处理;求差序列、最大差和最小差;计算相关系数;计算相关度。

    优点:它是评估具有大量未知信息的系统的有效模型。是定性分析与定量分析相结合的综合评价模型。该模型能较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,并能排除人为因素。影响将使评估结果更加客观和准确。整个计算过程简单、易懂、易掌握;数据无需归一化完全背包问题算法,可直接使用原始数据进行计算,可靠性高;评价指标体系可根据具体情况增减;不需要大量的样本,只要有一个小的有代表性的样本就足够了。

    缺点:需要样本数据,具有时间序列的特点;它只区分评价对象的优劣,不反映绝对水平,因此基于灰色关联分析的综合评价具有“相对评价”的所有缺点。

    适用范围:对样本量无严格要求,无需分布。适用于只有少量观测数据的问题;应用该方法进行评价时,指标体系和权重分配是关键问题,选择的恰当性直接影响最终评价结果。

    改进方法:

    (1)采用组合加权法:加权系数是通过客观加权法和主观加权法相结合得到的。

    (2)结合TOPSIS方法:不仅关注序列与正理想序列的关联程度,还要关注序列与负理想序列的关联程度,计算最终根据公式的关联程度。

    3.3 模糊综合评价法

    基本思想:以模糊数学为基础,运用模糊关系综合原理,对一些边界不清、难以量化的因素进行量化,从多个因素综合评价对象的下级(或评论集)状态的一种方法性评价。在综合评价中,根据给定的条件,为每个评价对象分配一个对整体评价对象的非负实数评价指标,然后以此为基础进行排名。

    基本步骤:确定因子集和注释集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊综合并进行评价。

    优点::数学模型简单,易于掌握,对多因素多层次的复杂问题有很好的效果。模糊评价模型不仅可以根据综合得分的大小对评价对象进行评价和排序,还可以根据模糊评价集中的值,按照最大隶属度原则评价对象的等级,结果包含丰富的信息。评估是成对进行的,对被评估对象具有唯一的评估值,不受被评估对象所在对象集的影响。它接近东方人的思维习惯和描述方法,因此更适合评价社会经济制度问题。

    缺点:无法解决评价指标之间相关性导致评价信息重复的问题。隶属函数的确定没有系统的方法,合成算法有待进一步探讨。评价过程中大量使用人为的主观判断,由于各因素权重的确定具有一定的主观性,因此,一般来说,模糊综合评价是一种基于主观信息的综合评价方法。

    适用范围:广泛应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性取决于因素的合理选择、因素的权重分配以及综合评价的综合算子。

    改进方法:

    (1)采用组合加权法:加权系数是通过客观加权法和主观加权法相结合得到的。

    3.4 BP神经网络综合评价方法

    基本思想:是一种交互式评价方法,可以根据用户期望的输出不断修改指标的权重,直到用户满意为止。因此,总的来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。

    优点:神经网络具有自适应能力,可以对多指标综合评价问题给出客观评价,有利于弱化权重确定中的人为因素。在以往的评价方法中,传统的权重设计存在很大的歧义,人为因素对权重确定的影响也很大。随着时间和空间的推移,每个指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化,所确定的初始权重可能与实际情况不符。此外,考虑到整个分析评估是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些都是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选择方法的局限性,可以利用神经网络原理分析变量的贡献度,然后剔除不显着和不重要的因素建立简化模型,可以避免干扰变量选择的主观因素。.

    缺点:ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权重不能解释为回归系数,也不能用来分析因果关系。权重的含义。它需要大量的训练样本,准确率不高,应用范围有限。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机来处理,而这方面的商业软件还不够成熟。

    适用范围:神经网络评价模型具有自适应和容错能力,可以处理非线性和非局部性的大型复杂系统。在训练学习样本时,不需要考虑输入因子之间的权重系数。ANN通过比较输入值和期望值之间的误差,自动调整和适应原始连接权重。因此,这种方法反映了因素之间的相互作用。影响。

    改进方法:

    (1) 使用组合评价方法:对于其他评价方法得到的结果,选择一部分作为训练样本,一部分作为测试样本进行测试,这样对神经网络进行训练,直到满足要求满足,能得到更准确的结果。好的结果。

    3.5 数据包络法 (DEA)

    3.6 组合评估方法

    预测模型

    定性研究与定量研究相结合是科学预测的发展趋势。在实际的预测工作中,定性预测和定量预测应该并用,即在对系统进行正确分析的基础上,根据定量预测得到的定量指标,判断系统未来的走势。

    4.1 回归分析

    基本思路:根据历史数据的变化规律,找到自变量与因变量之间的回归方程,确定模型参数,并据此进行预测。回归问题分为单变量和多元回归、线性和非线性回归。

    特点:技术比较成熟,预测过程简单;对预测对象的影响因素进行分解,考察各因素的变化情况,估计预测对象未来的量化状态;回归模型误差大,外推特性差。

    适用范围:回归分析法一般适用于中期预测。回归分析方法需要较大的样本量和良好的样本分布规律。当预测的长度大于占用的原始数据长度时,使用这种方法进行的预测在理论上无法保证预测结果的准确性。此外,可能会出现定量结果与定性分析结果不匹配的现象,有时很难找到合适的回归方程类型。

    4.2 时间序列分析

    基本思想:将预测对象的历史数据以一定的时间间隔排列,形成随时间变化的统计序列,建立相应数据随时间变化的模型,并将模型外推到未来进行预测。

    适用范围:该方法的有效前提是过去的发展模式将延续到未来,因此该方法更适合短期预测,但不适用于中长期预测。一般来说,如果影响预测对象变化的因素不发生突变,时间序列分析方法可以获得更好的预测结果;如果这些因素发生变异,时间序列法的预测结果会受到一定的影响。

    4.3 灰色预测

    基本思想:把所有的随机变量都看作是在一定范围内变化的灰色变量,不是从统计规律的角度进行大规模的分析研究,而是用数据处理方法(数据生成和还原)来组织凌乱的原始数据数据。应该通过生成规律性强的数据来研究,即灰色系统理论建立的不是原始数据模型,而是生成的数据模型。

    适用范围:预测模型为指数函数。如果待测测量按照指数规律发展,则有望获得更高精度的预测结果。影响模型预测精度和适应性的关键因素是模型中背景值的构建和预测公式中初始值的选取。

    4.4 BP神经网络法

    人工神经网络理论具有表达任意非线性关系和学习的能力,为解决许多具有复杂不确定性和时变的实际问题提供了新思路和新方法。

    利用人工神经网络的学习功能,用大量样本对神经网络进行训练,调整其连接权值和闭合值,然后可以使用确定的模型进行预测。神经网络可以自动从数据样本中学习以前的经验,而不需要复杂的查询和表示过程,并自动逼近那些最能描述样本数据规律的函数,无论这些函数有什么形式,并且考虑的越复杂系统的功能形式,神经网络这一特征的效果越明显。

    误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播来调整和修改网络的连接权重和闭合值,使误差最小化。学习过程包括前向计算和误差反向传播。. 它使用一个简单的三层人工神经网络模型来实现从输入到输出的任何复杂的非线性映射关系。目前,神经网络模型已成功应用于经济预测、金融分析、贷款抵押评估和破产预测等诸多经济领域。

    优点:可以模拟人脑神经系统的结构和不同层次和层次的信息处理和检索功能,对大量非结构性和不准确规律有很强的适应功能,具有信息记忆、自主性学习、知识 具有推理和优化计算的特点,其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的。

    缺点:网络结构难以确定,同时需要足够的历史数据,样本选择困难,算法复杂,容易陷入局部极小点。

    4.5 支持向量机方法

    支持向量机是一种基于统计学习的机器学习方法。通过寻求结构风险最小化,使经验风险和置信区间最小化,从而达到即使在统计样本很少的情况下也能获得良好统计规律的目的。

    其中,支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似。可以提高学习机的泛化能力。它不仅可以从有限的训练样本中获得小误差,而且对于独立的测试集也能保持小误差。向量机算法是一个凸优化问题,所以局部最优解必须是全局最优解,而支持向量机克服了神经网络收敛速度慢和局部极小的缺点。

    核函数的选择是SVM方法中的一个难题,目前还没有一定的理论指导。

    4.6 组合预测方法

    在实际的预测工作中,从信息利用的角度来看,任何单一的预测方法都只利用了部分有用信息,而丢弃了其他有用信息。为了充分发挥各个预测模型的优势,对于同一个预测问题,往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息,而组合预测以某种方式组合不同的预测模型。根据组合定理,各种预测方法可以通过组合尽可能地利用所有信息,尽可能提高预测精度,达到提高预测性能的目的。

    最优组合预测中有两种类型的概念。一种是预测方法,对几种预测方法得到的预测结果进行加权平均,选择合适的权重。关键是确定每种单一预测方法的权重系数。比较几种预测方法,选择拟合最好或标准差最小的预测模型作为预测的最优模型。当单一的预测模型不能完全描述预测数量的变化规律时,组合预测就起作用了。

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