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  • 【每日一题】迭代函数迭代序列或写成不动点迭代定理

    华长生制作第7章非线性方程的数值求解3、牛顿迭代法的步骤逐步一、准备。选择初始近似值,计算步二、迭代。通过公式迭代一次得到一个新的近似值,并计算step三、控件。如果满足或.,则作为所需的根终止迭代;否则,转到步骤 4。这里是允许误差,5. 牛顿迭代法的应用 ———- 平方根公式 对于给定的正数,使用牛顿迭代法解二次方程,可以推导出平方根值的计算公式如果是近似值,自然是近似值,而上式表明两者的算术平均值会是更好的近似值。定理 对于任何给定的初始值,平方根公式都是平方收敛的。方法一、如果已知重数m(m>1),则用m构造新的迭代公式:此时,至少二阶收敛。方法二、取,然后对函数F(x)进行牛顿迭代:此时X*是F(x)的单根,所以是二阶收敛6.牛顿法的改进(三):牛顿下坡法一般来说,收敛的牛顿法取决于初值的选取,如果偏差较大,牛顿法可能会发散,为了防止发散,通常在迭代过程,即保证函数值单调递减:满足这一要求的算法称为下坡 牛顿下坡法采用如下迭代公式: 称为下坡因子 第 7 章非线性方程的数值解 加速度一个简单的迭代公式被假定为求根的近似值,并通过对迭代公式进行一次修正得到假设。推导出以下加速度公式: 第一步分为两步: 迭代: 改进: Etkin 迭代法求方程的实根 Steffensen 迭代 构造线性收敛序列。现在结合定点迭代法:迭代函数对初值迭代序列进行迭代或者写成定点迭代形式 theorem7.4.1 让序列线性收敛于x * ,则存在艾特肯序列,并且比 更快地收敛到 x*: ——泰勒展开线性化 f(x)=0 逼近 f(xn)+ f′(xn)(x-xn)=0(1)从(1)求解x,写为xn+1,则1.牛顿迭代公式成立 4.其对应的迭代方程显然是f(x)=0的同一个解方程,所以它的迭代函数是根x在f(x)=0处*的某个邻域,在x*的邻域R,对于任意初始值,应用公式(2)求解方程称为牛顿迭代法。

    是求解代数和超越方程的有效方法之一一. 2.牛顿迭代法的几何意义与x轴的交点x(y=0) , 作为下一次迭代点 xn+1, 即在 xn 处采用 f(x) 的切线牛顿迭代法, 也称为正切法. 15 16 其中 c 是取绝对值或相对误差的控制常数,一般可以取c=1.step四、修改。如果迭代次数达到预定次数N,或者,方法失败;否则,继续迭代,代替step 2。例如,用牛顿迭代法求下式的正根,计算结果精确到小数点后7位 解:用牛顿迭代法x1 = 1.4666667,…, x4 = 1.@ >3688081 x5 = 1.3688081 5次迭代到10-7 x* ≈ 1.368808 4.牛顿迭代法收敛定理(1)牛顿迭代形式ula 在单根的情况下至少收敛 2 阶;定理7.3.1 令f(x*)=0, , 且存在于x* 的邻域,连续,则可得到4.牛顿迭代法收敛定理证明:使 f(x) 在 xn 处进行二阶泰勒展开,并将解 x* 代入 so,牛顿法至少是二阶收敛的。注意ξn在xn和x*之间,20牛顿法在多根情况下具有局部线性收敛,m的倍数越高,越接近1,收敛越慢。

    牛顿迭代法的特点 牛顿迭代公式是一种特殊的不动点迭代牛顿迭代有m重根时,其迭代函数为: 牛顿迭代是一种局部线性化方法,在单根附近具有较高的收敛速度。方法的有效前提: 21 牛顿迭代法的优缺点在单根附近。牛顿迭代法具有平方收敛速度,因此在迭代过程中,只需几次迭代即可得到非常精确的解。优缺点:多根情况下的局部线性收敛; 2.牛顿迭代法需要大量计算:因为每次迭代除了计算函数值外,还需要计算微商值; 3. 选取的初值要逼近方程的解,否则可能得不到收敛的结果; 21 牛顿迭代法的改进克服缺点:局部线性收敛—–改进公式或加快2.计算每一步的微商值—–简化牛顿迭代法或弦截距法3.初值逼近问题——-二分法求初值或“下坡算法”6.牛顿法的改进(一)—多重的情况根是不实际的:m 通常是不确定的。缺点:使用了二阶导数。牛顿迭代法在每个迭代点都需要复数导数!这种格式称为简化牛顿迭代法,精度稍低6.牛顿法的改进(二)牛顿迭代法变成这种格式称为弦截断法收敛阶数约为1.618示例使用简化牛顿法和弦截距法求解下列方程的根,并将解与牛顿迭代法进行比较: 由牛顿迭代法得到的弦截距法得到的简化牛顿法 x0= 0.5 x1= < @0.3333333333 x2 = 0.3497942387 x3 = 0.3468683325 x4 = 0.3473702799 x5 = 0.3472836048 x6 = 0.3472985550 x7 = 0.3472959759 x8 = <@ 0.3472964208 x9 = 0.3472963440 x10 = 0.3472963572 x11 = 0.3472963553 x0=0.5; x1=0.4; x2 = 0.3430962343 x3 = 0.3473897274 x4 = 0.3472965093 x5 = 0.3472963553 x6 = 0.3472963553 从弦割法简化牛顿法,得到精度 10-8 简化牛顿法迭代 11 字符串交点迭代 5 牛顿迭代 4 次迭代 x0 =0.5; x1 =0.3333333333 x2 =0.3472222222 x3 =0.3472963532 x4 =0.3472963553 by Newton迭代法 不管哪种迭代法:Newton迭代法简化了Newton法弦截距方法用牛顿迭代法求解:x0 = 2 x1 = -3.54 x2 = 13.95 x3 = -279.34 x4 = 122017 是否收敛与位置有关的初始值。示例: x0 =1 x1 = -0.5708 x2 = 0.1169 x3 = -0.0011 x4 = 7.9631?10-10 x5 = 0收敛 发散 迭代法 牛顿下坡法只能线性收敛。 § 7.4 Aitken Acceleration Scheme/Steffensen Iterative Method Improvement, Accelerated Convergence /* 加速收敛 */ 虽然有些迭代过程收敛,但速度很慢。

    为了达到要求的精度,需要进行大量的迭代,因此有必要尽量加快迭代过程。 1.基本思想上面的公式表明,预测值x0和校正值x1的线性组合作为x*的新近似,可能比x1要好。设:ξ在x0和x*之间,如果变化不大牛顿迭代有m重根时,则有微分中值定理x0的预测值—-x* 一般情况下,方法1中存在校正残差的线性组合包含L(或q),在实际应用中不方便。让我们尝试消除L(或q),得到一种新的加速方法——Aitken(Etkin)方法。 x0——预测提升,一般计算公式如下: x1=g(x0) ——更新 x2=g(x1) ——进一步更新 * * * *

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