【每日一题】极大之极大无关组的求法注

如何找到线性代数的最大独立群

注：行列式常用计算方法链接汇总

三角法、降序法、迭代法、分割法、升序法

最大独立群的定义

假设有一个向量组 A：

小组的一部分

（其中k小于等于m，可以从向量组中选择）满足以下条件：

部分组之间的线性独立向量组中的每个向量可以由部分组线性表示。该向量组中的最大向量数

那么这样的部分向量群称为最大线性独立群。不难发现，最大不相关组具有以下特点：

任何两个最大独立组包含相同数量的向量。如何找到一个不是唯一最大独立组的最大独立组

向量群的最大不相关群可以通过启发式（加法）法、消去法和初等变换法求解。本文将通过实例详细介绍求解的方法和步骤。

初级转型

一组已知矩阵向量

求这个向量集的最大独立集和其他向量的线性表示。详细步骤如下：

然后这个箭头执行的列向量

是一个最大独立群，并且

初等变换法步骤总结

Step1：原始向量是行还是列，按照列组成矩阵A

Step2：只进行行初等变换，将矩阵A变成行简化梯型

Step3：第一个非零元素所在的列是最大不相关组

Step4：剩下的向量直接按照列的倍数写出关系

添加启发式

这种方法主要是将向量一个一个相加，形成一个向量组，然后判断该向量组的不相关性。有关详细信息，请参见以下示例：

找到一个最大独立的向量组

解开：

Step1：放

作为一个群，它们被观察为线性独立的，因为两个向量的对应元素不成比例，所以线性独立

Step2：此时，

进入向量组，即

为了检查整体的线性独立性，我们可以结合方程

，即通过求解方程中的未知数得到它们的线性相关，若无解则为线性相关，否则为线性无关。某物（人）到了

，也就是

线性相关。所以被调查的向量组被淘汰了

.

Step3：此时，

进入向量组，即

对整体的线性独立性进行检验，方法同Step2

线性独立。

Step4：此时，将

包含在向量组中，不难发现

，马上

线性表示。

Step5：总结以上内容

是最不相关的群体之一。

注意：这里极其不相关的组不是唯一的，这里只是其中之一。

排除

该方法是通过线性方程组零解的唯一性来检验线性相关性。如果只有一个非零解，它是线性无关的，如果有一个非零解，它是线性相关的。

找到以下向量组的一组最大独立组：

详细步骤如下：

Step1：将所有向量加入向量组，检验线性方程组的解，得到如下公式：

，这里我们可以得到一个非零解矩阵中怎么看极大线性无关组，即

, 那么我们可以知道

是线性相关的，即

这里引入对应的x值来得出结论。

Step2：此时删除

，按照Step1的思路矩阵中怎么看极大线性无关组，利用线性方程组来考察

相关性，即检验

在x解的情况下，发现有一个非零解

，马上

.

Step3：此时删除

，加入

，也就是调查

在x解的情况下，发现方程只有零解，则

线性无关，所以

它是当前向量组的最大独立组，即向量组的一组基。

补充说明

1)添加启发式和排除。因为运算顺序不同，基（最大不相关组）也会不同，但是基的个数和维数是一样的。

2) 对于初等变换方法，我们一般用列组成矩阵，只做行变换。如果我们用行组成一个矩阵，那么我们只能做列转换。在一个方法中不可能同时执行行和列转换。