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  • 学习OpenCV的时候,正巧学到离散的傅里叶变换,书上是这样介绍的

    前言:在学习OpenCV的时候,碰巧学了离散傅里叶变换,书中是这样描述的:

    离散傅里叶变换(DFT)是指傅里叶变换在时域和频域上的离散形式,将时域信号的采样变换为离散时间傅里叶变换(DTFT)频域采样。形式上,变换两端的序列是有限长度的,但实际上这两组序列应该被视为离散周期信号的主值序列。即使对有限长度的离散信号进行DFT,也需要经过周期扩展后转换为周期信号。

    说实话:作为一个新手,我完全看不懂,所以在知乎看到了一个大佬写的文章。知乎专栏:与时间无关的故事,写起来感觉很好,我会转载,希望更多人学习。

    对作者的敬意:谨此谨献给大连海事大学吴楠、刘晓明、王新年、张静波老师。

    我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同,这是12年还在果壳的时候写的,但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年,嗯,我是拖延症患者……

    本文的核心思想是:

    让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

    傅里叶分析不仅是一种数学工具,更是一种能够彻底颠覆一个人以往世界观的思维方式。但不幸的是,傅里叶分析的公式似乎太复杂了,以至于很多新生对此感到困惑和厌恶。老实说,这么有趣的事情成为大学的杀手级课程,不得不责怪编辑太严重了。 (如果你让你的教科书有趣,你会死吗?你会死吗?)所以我一直想写一篇有趣的文章解释傅里叶分析,如果可能的话,高中生可以理解的那种。所以,无论你在做什么工作,我保证你能看懂,你一定会体验到通过傅里叶分析换一种方式看世界的快感。至于已经有一定基础的朋友,也希望你们在没有看到会场的情况下赶紧回头。如果你仔细阅读,你一定会有新的发现。

    ————以上是设定诗————

    输入以下主题:

    对不起,我还是想啰嗦一句:其实学习并不容易,写这篇文章的初衷是希望大家学的更轻松,更有趣。但无论如何!不要收藏这篇文章或保存地址,想着:我以后有时间再看。这样的例子太多了,你可能几年后都不会再打开这个页面了。无论如何,请耐心等待并继续阅读。这篇文章比看教科书轻松多了……

    附言在本文中,无论是cos还是sin,都统一使用“Sine Wave”一词来表示简谐波。

    一、什么是频域

    从我们出生开始,我们所看到的世界就穿越了时间,股票的走势,人的身高,汽车的轨迹都会随着时间而改变。这种以时间为参考观察动态世界的方法称为时域分析。而我们也理所当然地认为,世界上的一切都随着时间不断变化,永远不会停滞不前。但如果我告诉你换个角度看世界,你会看到世界是永恒的,你会认为我疯了吗?我没疯,这个静态的世界叫做频域。

    举个例子,从公式上来说不是很贴切,但在意思上更贴切:

    在你的理解中,什么是乐曲?

    在这里插入图片描述

    这是我们对音乐最常见的理解,一种随时间变化的振动。但我相信对于小乐器专家来说,对音乐更直观的理解是这样的:

    在这里插入图片描述

    好的!下课后,同学们再见。

    是的,其实这一段到这里就可以结束了。上图是音乐在时域中的样子,下图是音乐在频域中的样子。所以频域的概念大家从来都不陌生,只是没有意识到而已。

    现在我们可以回过头来重温一下开头那句白痴的说法:世界是永恒的。

    化简以上两图:

    时域:

    在这里插入图片描述

    频域:

    在这里插入图片描述

    在时域中,我们观察到钢琴的琴弦会上下摆动一段时间,就像一只股票的走势;但在频域中,只有那一个永恒的音符。

    所以:

    在你眼中,这个看似落叶的世界在变幻着变幻着,其实只是一首早已在上帝怀里谱写的乐曲。

    对不起,这不是鸡汤,而是黑板上的一个固定公式:傅立叶告诉我们,任何周期函数都可以看作是不同幅度和相位的正弦波的叠加。在第一个例子中,我们可以理解,任何一段音乐都可以通过敲击不同力度、不同时间点的不同键来组成。

    其中一种贯穿时域和频域的方法就是传说中的傅立叶分析。傅里叶分析可以分为傅里叶级数(Fourier Serie)和傅里叶变换(Fourier Transformation),我们先从一个简单的开始。

    二、傅里叶级数谱

    最好举个栗子,有图有真相。

    如果我说我可以将 90 度方波与我之前提到的正弦波叠加,你会相信我吗?你不会的,就像那时的我一样。但请看下图:

    在这里插入图片描述

    随着正弦波的数量逐渐增加,它们最终会叠加成一个标准的矩形。对此你有什么理解?

    (只要努力,就可以把它弯直!)

    随着叠加的增加,所有正弦波的上升部分逐渐使原本缓慢增加的曲线变得更陡峭,所有正弦波的下降部分在上升到最高点时抵消了上升部分,使水平线变得更陡峭线。一个长方形就是这么叠加的。但是需要添加多少个正弦波才能形成一个标准的 90 度方波呢?不幸的是,答案是无限的。 (上帝:我能让你猜到我吗?)

    不只是矩形傅里叶反变换常用公式,任何你能想到的波形都可以通过这种方式与正弦波叠加。这不是

    对于接触过傅立叶分析的人来说,第一个困难是直观的,但是一旦你接受了这个设置,游戏就会开始变得有趣。

    上图中的正弦波还是堆积成矩形波,我们换个角度来看:

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这些图中,最前面的黑线是所有正弦波叠加的总和,也就是越来越接近矩形波的图。以不同颜色排列的正弦波是矩形波的组成部分。这些正弦波按照频率从前到后的顺序排列,每个波的幅值是不同的。细心的读者一定发现,每两个正弦波之间都有一条直线,不是分界线,而是幅度为0的正弦波!也就是说,为了形成一条特殊的曲线,不需要一些正弦波分量。

    在这里,我们将不同频率的正弦波变成频率分量。

    好了,关键来了! !

    如果我们将第一个最低频率分量视为“1”,我们就有了构建频域的最基本单元。

    对于我们最常见的有理数轴,数字“1”是有理数轴的基本单位。

    时域的基本单位是“1秒”。如果我们以角频率为[公式]的正弦波cos([公式] t)为基础,那么频域的基本单位就是[公式]。

    有“1”,也有“0”构成世界,那么频域中的“0”是什么? cos(0t) 是无限周期的正弦波,是一条直线!因此,在频域中,零频率也称为直流分量。在傅里叶级数的叠加中,它只影响整个波形相对于数轴向上或向下,而不改变波形的形状。

    接下来,让我们回到初中,回忆一下死去的八戒,啊不,死去的老师是如何定义正弦波的。

    在这里插入图片描述

    正弦波是圆周运动在直线上的投影。所以频域的基本单位也可以理解为一个一直在旋转的圆

    在这里插入图片描述

    介绍完频域的基本组成部分,我们可以看一下矩形波,频域中的另一种表现:

    在这里插入图片描述

    这是什么奇怪的东西?

    这是一个矩形波在频域的样子,是不是完全认不出来了?教科书一般都放在这里,留给读者无尽的遐想和无尽的抱怨。其实课本只需要加一张图:频域图,也叫频谱,就是

    在这里插入图片描述

    ——

    要明确:

    在这里插入图片描述

    可以发现,在频谱中傅里叶反变换常用公式,偶数项的幅度都为0,对应图中的彩色线。幅度为 0 的正弦波。

    说实话,我在学习傅里叶变换的时候,Wiki里没有出现这个图,当时就想到了这个表达方式,以后再补充一个Wiki没有显示的谱——相位谱.

    但在我们讨论相位谱之前,让我们回顾一下这个例子的含义。还记得之前的“世界静止”这句话吗?估计很多人都在抱怨这句话很久了。想象一下,世界上每一个看似混乱的表象,其实都是时间轴上的一条不规则曲线,而这些曲线其实是由这些无穷无尽的正弦波组成的。我们看似不规则的,其实是一个规则的正弦波在时域上的投影,而正弦波是一个旋转圆在直线上的投影。那么你心中的画面是什么?

    我们眼中的世界就像皮影戏的大幕。幕后有无数的齿轮。大齿轮带动小齿轮,小齿轮带动小齿轮。最外面的齿轮上有一个小家伙——就是我们。我们只看到这个反派在幕前不规律的表演,但我们无法预测他接下来会去哪里。窗帘后面的齿轮总是这样旋转,永不停息。这听起来有点宿命论。说实话,这样的人生描述,在我们都是高中生的时候,是我的一个朋友感叹的。那个时候想了想,没想明白,直到有一天学了傅里叶级数……

    三、傅里叶级数的相位谱

    上一章的关键词是:从侧面。本章的关键词是:从下往上。

    在本章的开头,我想回答一个很多人都问过的问题:傅里叶分析到底是用来做什么的?这一段比较枯燥,已经知道的同学可以直接跳到下一个分割线。

    我们先说最直接的使用。无论是听广播还是看电视,我们都要熟悉一个词——频道。信道信道是频率的信道,不同的信道使用不同的频率作为信息传输的信道。让我们尝试一件事:

    先在纸上画一个 sin(x)。不一定是标准的,但意思差不多。这并不难。

    好,那就画一个 sin(3x)+sin(5x) 图。

    别说标准不标准,曲线涨跌的时候你不一定画,对吧?

    好吧,画不出来也没关系。我给你sin(3x)+sin(5x)的曲线,但前提是你不知道这条曲线的方程。现在你需要从图片中给我 sin(5x)。拿出来看看还有什么。这基本上是不可能的。

    但是在频域呢?很简单,就是几条竖线。

    许多在时域中看似不可能的数学运算在频域中却非常容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率分量,工程上称为滤波,是信号处理中最重要的概念之一,只能在频域内轻松完成。

    一个更重要但稍微复杂一点的用途——求解微分方程。 (这一段有点难,看不懂的可以跳过这段。)微分方程的重要性不需要我过多介绍。用于各行各业。但是求解微分方程是一件很麻烦的事情。因为除了计算加减乘除之外,我们还需要计算微分和积分。傅里叶变换让微分和积分变成频域的乘除,大学数学瞬间变成小学算术。

    傅立叶分析当然还有其他更重要的用途,我们会在后面提到。

    ———————————————————————————————————————

    我们继续说相位谱:

    通过将时域变换到频域,我们得到一个从侧面看的频谱,但是这个频谱并不包含时域的所有信息。因为频谱只代表每个对应的正弦波的幅度是多少,而没有提到相位。在基本的正弦波A.sin(wt+θ)中,幅度、频率、相位缺一不可,不同的相位决定了波的位置,所以对于频域分析,只有频谱(幅度谱)是不够的,我们还需要相位谱。那么这个相位谱在哪里呢?让我们看看下面的图片。这次为了避免图片过于混乱,我们使用了7个波浪叠加的图片。

    在这里插入图片描述

    由于正弦波是周期性的,我们需要设置一些东西来标记正弦波的位置。图中是那些小红点。小红点是离频率轴最近的波峰,这个波峰的位置离频率轴有多远?为了看得更清楚,我们把红点投影到下平面,我们用粉红点来表示投影点。当然,这些粉红色的点只是表示峰值到频率轴的距离,而不是相位。

    在这里插入图片描述

    这里有一个概念需要修正:时间差不是相位差。如果将整个周期视为2Pi或360度,则相位差是一个周期内时间差的比例。我们将时间差除以周期再乘以2Pi得到相位差。

    在完整的立体图中,我们依次将投影的时间差除以频率的周期,得到最低的相位谱。所以,从侧面看频谱,从下方看相位谱。

    注意相位谱中除0以外的相位为Pi。因为 cos(t+Pi)=-cos(t),相位为 Pi 的波实际上只是上下翻转。对于周期性方波的傅里叶级数,这样的相位谱已经很简单了。另外值得注意的是,由于cos(t+2Pi)=cos(t),相位差是周期性的,并且pi和3pi、5pi、7pi都是同相位的。相位谱的取值范围人为定义为(-pi, pi],所以图中的相位差都是Pi。

    终于有一个大合集了:

    在这里插入图片描述

    四、傅里叶变换

    相信通过前三章,大家对频域和傅里叶级数有了新的认识。但是在关于钢琴乐谱示例的文章开头,我说这个栗子是公式错误,而是概念的典型示例。所谓的公式错误在哪里?

    傅立叶级数的本质是将周期信号分解成无数个独立的(离散的)正弦波,但宇宙似乎不是周期性的。我在学习数字信号处理的时候曾经写过一首打油诗:

    过去连续非周期性,

    召回周期是不连续的,

    ZT、DFT、

    还原无法返回。

    在这个世界上,有些事情永远不会重来,时间也不会停止在时间点上标记那些难忘的过去。但这些东西往往会成为我们极其珍贵的记忆,一段时间后它们会周期性地在我们的脑海中浮现。遗憾的是,这些记忆都是零散的碎片,往往只有最快乐的记忆,而枯燥的记忆却逐渐被我们遗忘。因为过去是一个连续的非周期性信号,而记忆是一个周期性的离散信号。

    是否有数学工具可以将连续的非周期性信号转换为周期性的离散信号?对不起,不是真的。

    例如,傅里叶级数在时域是周期连续函数,在频域是非周期离散函数。这句话比较绕,不过看着麻烦,我可以简单的回忆一下第一章的图片。

    我们接下来要讲的傅里叶变换,就是将时域的非周期连续信号转换成频域的非周期连续信号。

    算了,先来一张图,让大家更容易理解:

    在这里插入图片描述

    或者我们可以换个角度理解:傅里叶变换其实就是一个无限周期函数的傅里叶变换。

    所以,钢琴乐谱实际上并不是一个连续的频谱,而是很多时间上离散的频率,但是这样一个恰当的类比,真的很难找到第二个。

    因此,傅里叶变换在频域中从离散谱变为连续谱。那么连续体是什么样子的呢?

    你见过大海吗?

    为了比较方便,这次我们换个角度看频谱,这是傅里叶级数中用得最多的图,我们会看更高频率的方向。

    在这里插入图片描述

    上面是离散谱,那么连续谱是什么样子的呢?

    尽情发挥你的想象力,想象这些离散的正弦波越来越靠近,逐渐变得连续……

    直到它变得像翻滚的大海:

    在这里插入图片描述

    抱歉,为了让这些波浪看得更清楚,我没有选择正确的计算参数,而是选择了一些参数让画面更漂亮,否则画面会像狗屎。

    但是通过对比这两张图,你应该就能明白如何从离散光谱变成连续光谱了吧?原本离散光谱的叠加,变成了连续光谱的叠加。因此,计算也由求和符号改为积分符号。

    然而,这个故事还没有结束。接下来,我保证给大家展示一张比上面那张更美更壮观的画面,但是还有一个数学工具需要引入来继续这个故事。这个工具是-

    五、宇宙第一公式帅:欧拉公式

    虚数i这个概念在高中时大家都接触过,但当时我们只知道它是-1的平方根,但它的真正含义是什么?

    在这里插入图片描述

    这里是一条数轴,数轴上是一条长度为1的红线段。乘以3时,它的长度发生变化,变成蓝线段,乘以-1时,变成绿色线段,或者线段绕数轴上的原点旋转180度。

    我们知道乘以-1实际上就是将i乘以两次将线段旋转180度,然后将i乘以一次——答案很简单——旋转90度。

    在这里插入图片描述

    同时,我们得到一个垂直的虚轴。实数轴和虚数轴共同构成一个复平面,又称复平面。这样,我们就理解了虚数 i 相乘的函数——旋转。

    现在,宇宙第一帅公式欧拉公式隆重登场——

    这个公式在数学领域的意义远大于傅里叶分析,但乘以它是宇宙中第一个漂亮的公式,因为它的特殊形式——当x等于Pi时。

    理工科的学生经常用这个公式向女生解释数学之美,以向女生展示自己的学术能力:“石榴姐,你看,这个公式包含自然基数e,自然数1和0,和虚数 i。还有 pi,它是如此简单和美丽!但女生的心里往往只有一个字:“臭屌丝……”

    这个公式的关键作用是将正弦波统一成一个简单的指数形式。我们来看看图片上的含义:

    在这里插入图片描述

    欧拉公式描述的是一个随着时间变化在复平面上做圆周运动的点。随着时间的变化,它变成了时间轴上的一条螺旋线。如果只看实部,也就是螺旋线在左边的投影,就是最基本的余弦函数。右边的投影是一个正弦函数。

    对复数有更深入的理解,可以参考:

    复数的物理意义是什么?

    这里不需要太复杂,下面的内容大家可以看懂就行了。

    六、指数傅里叶变换

    借助欧拉公式,我们知道正弦波的叠加也可以理解为螺旋叠加在实数空间中的投影。而如果用栗子的形象来理解螺旋线的叠加,那又是什么呢?

    光波

    我们在高中时了解到,自然光是由不同颜色的光叠加形成的,最著名的实验就是牛顿先生的棱镜实验:

    在这里插入图片描述

    所以其实我们很早就接触到了光的光谱,只是没有理解光谱更重要的意义。

    但不同的是,傅里叶变换光谱不仅仅是可见光等有限频率范围的叠加,而是从0到无穷大的所有频率的组合。

    在这里,我们可以通过两种方式理解正弦波:

    第一个前面已经提到过,就是螺旋线在实轴上的投影。

    另外需要用另一种形式的欧拉公式来理解:

    将上述两个公式相加并除以2,我们得到:

    这个公式怎么理解?

    正如我们刚才所说,e(it)可以理解为逆时针螺旋,那么e(-it)可以理解为顺时针螺旋。而cos(t)是两个不同旋转方向的螺旋叠加的一半,因为两个螺旋的虚部相互抵消了!

    例如,两个偏振方向不同的光波抵消了磁场,使电场加倍。

    这里我们把逆时针旋转称为正频率,顺时针旋转我们称为负频率(注意不是复数频率)。

    好的,我们刚才已经看到了海洋——连续傅里叶变换谱,现在想想连续螺旋会是什么样子:

    想象一下向下滚动:

    在这里插入图片描述

    是不是很漂亮?

    猜猜这张图在时域中的样子?

    在这里插入图片描述

    哈哈,有没有觉得自己被狠狠的扇了一巴掌。数学就是把简单的问题复杂化的东西。

    顺便说一下,对于类似海螺的图片,为了方便查看,我只展示了正频的部分,负频的部分没有展示。

    如果你仔细看,海螺图上的每一条螺旋线都可以清晰地看到。每条螺旋线都有不同的幅度(旋转半径)、频率(旋转周期)和相位。把所有的螺旋线连接成一个平面就是这个海螺图。

    好,至此,相信大家对傅里叶变换和傅里叶级数有了一个直观的认识。我们最后用一张图来总结一下:

    在这里插入图片描述

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