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  • 小学数学概念:加法和乘法怎么办是个什么鬼?

    1,自然数。自然数是人类最先掌握的数字,源于最原始的计数需求。自然数上可以定义加法和乘法,满足交换律、结合律和分配比。

    2,整数。为什么我们需要引入整数?当对自然数进行加法的逆运算,即减法时,你会遇到一个较小的数减去一个较大的数。结果是什么鬼?它不是自然数,自然数与加法的逆运算不是封闭的。为了解决这个问题,必须引入整数,并且可以对整数自由进行加法和加法的逆运算,结果仍然是整数。整数的加法是群,是交换群。

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    3,一个有理数。乘法和除法是很自然的需求。乘法是可以的,整数乘以整数的结果仍然是整数。逆乘法呢? 1÷3的结果到底是什么?不是整数,运算没有闭,怎么办,所以需要定义一个有理数。有理数对加法运算是封闭的,任何有理数都有一个加法逆元。有理数对乘法是封闭的,任何非零有理数都有一个乘法逆元。这是一个数字字段。

    4,一个实数。有理数在生产实践中是完美和充分的,但有理数就是一切吗?毕达哥拉斯认为万物皆数,而这个数指的是有理数。毕达哥拉斯的一个弟子指出等腰直角三角形的斜边的长度是多少。如果直角的长度是1有理数混合运算的定义,根据勾股定理(Pythagorean theorem),斜边长度的平方是2,斜边的长度是2。边长是什么鬼?这首先引起了数学危机,被烧死,因为它是第一次指出除了有理数之外还有无理数。

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    后来人们发现了更多的无理数,比如pi、e等。给它加上无理数,有理数域扩展为实数域。在数轴上,实数域终于可以填满整个数轴。这称为有理数域的完备性。实数一般通过柯西序列、戴德金除法等方式定义。

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    4,复数。当实数已经填满实数线时,为什么会有复数?这源于对求解具有整数系数的多项式方程的研究。初中时,我学会了求解一个变量中最简单的二次方程。当判别式小于零时,方程没有实根。这还不足以激发虚数的概念,因为人们下意识地认为这个方程没有根。真正启发虚数概念的是一维三次方程的解,因为即使这个一维三次方程有三个实根有理数混合运算的定义,在解方程的过程中,也难免负数的平方根会出现数字。虚数为什么叫虚数,因为大家都认为是虚幻的虚数。引入复数的概念后,任何具有整数系数的多项式方程都必须有根。复数域是代数完备域。

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