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  • 傅立叶:让你永远忘不了傅里叶变换这个公式!(组图)

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    利用联想链和几何直觉,辅以从实际需要中推导出概念的思维方式,详细解释什么是傅里叶变换,为什么需要傅里叶变换等,帮助记忆和理解,目的当然是标题:让你永远不会忘记傅里叶叶变换这个公式。此外,这篇博文还从侧面回答了另一个问题:为什么要研究复数?

    该博客是展示傅里叶变换、欧拉公式和初等群论的组合的图像。希望通过这篇文章,让各位读者对傅里叶变换有一个新的认识,推动一波3b1b良心系列视频!重塑对未知和知识的渴望~

    知道相关问题的链接,朋友请点赞!没有信用或努力!

    欧拉公式和旋转

    在开始逐步接近[傅里叶变换]之前,让我们先谈谈群论。提前说明一下,这部分的某处会提到【群论】的概念,但是博主并不是试图抽象出很多环、场、向量空间、代数结构、线性代数群、李群等。概念灌输给大家,我们只是用群论的概念来加深或建立一个对【理解傅里叶变换】极有帮助的直观概念:指数函数(类似于对数函数的逆运算)是两者之间的桥梁加法和乘法。,它表示当参数包含复数时的旋转。举一个具体的例子:

    e^(πi) 表示在单位圆上逆时针旋转 180° 的变换。

    等等,这不是世界十大公式中排名第二的欧拉公式(上帝公式)吗?(顺便说一句,我们今天的主角【傅立叶变换】排名第七,这个阵容真的很强)

    是的,这第一部分,捎带,将带你更进一步,重新发现这个公式的伟大之处。

    对称性 首先,假设我们有以下陈述:正方形是对称图形

    那么从数学的角度(定义或公式),如何描述【对称】的概念呢?作为[人类],我们肯定会想,我们不就是左看右看吗?不够严谨,不够优雅,再深入一点,考虑一下:你可以对正方形做什么,并且在这个操作之后,保持正方形的形状和操作之前一样我们列出所有具有上述属性的操作并把它们在一起,如下动画所示(左右旋转90°,旋转180°,四个轴对称,不变,这八个操作),就构成了一个有限群【symmetry group】,更专业的叫【八二面体群】 8 阶]。

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    有了上面的直观理解,还有一个无穷大的群需要理解,即【旋转群】,它代表了所有的旋转操作。当然二维快速傅里叶变换 c语言,因为角度可以无限细分,所以这个操作也是无限的,比如:顺时针旋转

    至此,可以断定一个巧合现象。依次执行上述八种操作中的两种,就完全等同于另外八种操作中的一种(类似于旋转组),如下图动画所示,将这些组合放在一起可以真正表达【组】的概念。

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    从对称和对称重合可以构造出许多不同的概念,如下图所示,其中数字本身有两种表示(运算),加法和乘法。

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    对于集合[Number],加法对应于数轴的平移变换(一次操作),乘法对应于数轴的缩放变换(一次操作)。

    将此数轴的概念扩展到平面坐标系,1D ➜ 2D。如果我们想把一个点,比如(1,0))移动到另一个点,我们应该怎么做呢?简单来说,我们只需要先在横轴方向平移,再在纵轴方向平移(核心思想类似于广场上的几个操作)。

    同理,除了平移,同样的事情可以使用缩放和旋转(将任意点移动到另一个位置)来完成,缩放显然是乘法,但是如何表示旋转呢?(当然也可以直接改变坐标轴的定义,比如极坐标系,但我们不想这样做),我们构造如下思维链:

    以上都是假设和推理。剥丝后,最关键的部分是如何用单位 i 来表示逆时针旋转 90°,并给出一个可能的映射规则。x轴平移代表膨胀和收缩,y轴平移代表Rotation,这样组的属性有保障吗?(几个操作必须组合成其他操作,有一个学名:维护组结构)。我怎么可能代表旋转?无论你怎么看,它看起来都像。这个时候,你就陷入了死胡同。你不妨换个角度想想。什么是旋转?旋转是沿弧线(具有中心和转角)移动的过程。如果你非常熟悉泰勒公式,

    如果底a=e,通过泰勒展开,可以完成一个非常优雅的变形,如下:

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    将x=iθ带入(1)公式(其中θ为未知数,即自变量),排序项,移动,结合cos(x)和sin(x)的泰勒展开,虚单位的定义i=−1×−1 有以下推导:

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    这个公式有什么用?可视化后,如下图所示:

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    假设纵坐标有自己的虚数单位i(复平面),那么sin(θ)就是纵坐标(有自己的虚数单位i),cos(θ)就是横坐标,可以发现:e^( iθ) 表示圆心原点,半径为1的单位圆(图中α,由于绘图软件的限制,不能用θ代替,但不影响)

    公式e^(iθ)相当于一个旋转,θ” role=”presentation”>θθ是旋转角度的度数(统一单位,弧度制,即把°转为实数)θ=2π” role=”presentation “>θ=2π 是 360°,也就是单位圆。

    我们已经优雅地找到了这座桥,让我们仔细看看它的含义是什么?

    指数函数取幂

    指数函数有一个很重要的性质:加法变成乘法,即

    也就是说,通过指数函数,可以用平移变换来描述缩放变换。这是什么意思?参考下面的动画:

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    上面的数轴代表平移变换-1(左移一个单位)和2(右移两个单位)(加法),下面的数轴将这两个数作为输入,代入指数函数

    ,对于函数来说,这个输出值是两个缩放变换(乘法),一个是收缩到原来的

    ,另一个时间被拉伸到原来的

    注意二维快速傅里叶变换 c语言,所谓变量是指可以建立加法运算,即先向左平移1个单位,再向右平移1个单位。保持理论的结构性质),乘法运算也必须满足这个性质

    复平面

    至此,复平面构建完成,虚数单位i” role=”presentation”>ii添加到纵轴。我们既有缩放也有旋转,最重要的是通过这两个操作,我们还可以保持群的特征(使用乘法)如下动画所示,在复平面上,以指数函数为桥梁,实轴横向平移对应膨胀和收缩,虚轴纵向平移对应旋转。

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    横坐标红线,水平平移映射到缩放操作的可视化,纵轴是虚数单位,垂直平移映射到旋转操作的可视化。这是逆时针旋转。现在使用的桥是一个以 2 为底的指数函数

    ,我们知道e^(πi)表示的半圆,我们想把底改成e,这样更方便表达圆的概念。

    对于一个单位的纵向位移,在圆周上旋转的圆弧长度为1。参考下面的动画,e^(πi)只是表示逆时针旋转180°,位置为(-1,0),这是欧拉公式,或者说欧拉公式的几何可视化。

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    总而言之,第一部分做了什么?其实我想建立一个概念(或常识)。复平面中e^x表示的变换,或者x=ai(a是一个常数,就是圆周长的弧度)是: 旋转 如果你之前学过傅里叶变换,那么你就会明白为什么它需要这么多篇幅说到这里,因为在公式中,e^(iπ) 是非常重要的部分!

    傅里叶变换

    正式进入傅里叶变换部分,老规矩,先做一些基础信息排序。什么是傅里叶变换首先,或者首先弄清楚我们理解的目标是什么?傅里叶变换(如果不合格,则对应连续傅里叶变换)

    傅里叶级数 傅里叶变换还有很多:离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换、傅里叶逆变换、快速傅里叶变换等,进一步的拉普拉斯变换、小波变换、z变换等[公式表示]傅里叶变换、变换效果是将时域映射到频域,公式只要这样:

    很多时候,这里

    它将被写成 F(w) 或 F(f) 来表示角速度或频率。当然,下面公式的维度也需要做相应的修改;下面的自变量 x 大多写成 t 来表示时间。当然,它们的意思都是一样的。

    【关联链】既然是为了【理解】和【记忆】,那我们还是需要定义一个关联链:傅里叶变换➜分解声音的过程

    它之所以如此抽象,是因为很难将某些东西与拆卸方法(傅立叶?变换?嗯,很难看起来)联系起来,这是唯一的方法。接下来是精华部分:3b1b的傅里叶变换讲解核心内容!笔记完成后,结合直观理解给出完整的关联链。当然,目的是【让你永生难忘】,点击提问![见]傅立叶变换[声音的表示]我们如何记录声音?如果你测量扬声器旁边的气压,那么它将是一个图像随着时间的推移以正弦函数的形式不断振荡,标准音A(下图中黄色),它的频率为440Hz,即440每秒振动次数,较低的 D(下图中紫色)为 294Hz,并且振动更慢。如果这两种音调同时发出,随着时间的推移,产生的气压曲线是如何确定的?下面这个动画,其实就是把所有时间点的振幅加起来~

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    因此,如果给你一个随时间变化的随机气压曲线,你会如何找到这些原始组成音符?这就是我们来这里的目的,参考下面的动画,感觉有点像将一盘混合成分分成单独的颜色来组成它,是不是很容易?

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    这是您需要逐步执行的操作。【可视化方法】

    首先假设我们有一个每秒 3 拍的声音信号(440Hz 太快了),它的图像如下(Intensity 是强度,可以和气压一样),我们只关注上一页4.5秒(也就是图中画出的部分)1.圆录法:同一事物不同角度不要眨眼!下面是最关键的一步,也就是【看】傅里叶变换的核心部分,如下动画所示

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    从一开始的0.79 laps/sec(注意这里的速度指的是白色箭头绕单位圆滑动的速度)一直到1.55 laps/sec,最后精确到 3 圈/秒,这与原始信号 3 拍/秒相同。这时候就会出现一个非常稳定的图像。我们可以理解,这个圆图同步记录了原始信号的幅度变化,每个圆都是一样的(周期性的)。实际上,我们只是将水平轴绕在一个单位圆上,并用另一个速度记录尺(白色箭头)绘制它,以从另一个角度(维度)查看我们的信号。

    2. 质心记录:特征提取的新维度

    虽然新图像看起来不错,但我觉得我现在看不到任何东西。不一定,我们直观地发现,当白色箭头记录的速度在一定值时,绘制出来的图形非常稳定,形状清晰。如何表达这个特点?

    从两个角度思考——

    (1)自变量是什么?(输入特征)

    输入是可变转速。既然是变量,就把它看成一个自变量,即f(x)中的x

    (2)输出(新圆图)有什么特征?(输出特征)

    观察到,当图像非常混乱(没有规律,混乱)时,图像基本关于原点对称;当它稳定时,它实际上是“头重脚轻”。描述“头重脚轻”的最好方式当然是[centroid](描述物体的空间分布特征)。下面的动画直观地展示了质心特征描述图像特征的能力(红点为质心)

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    考虑到质心其实是一个二维坐标,这里为了简单直观,取质心的横坐标来表示质心的特征【输入(横坐标)】➜【采样的循环速度(白色箭头)】 【输出(纵坐标​​)】➜【圆图质心位置横坐标】按照以上说明记录并绘制图像,记录下每个绕线频率(速度)对应的质心位置,参考下面动态图表,将图像绘制到 3 当您处于 lap/second 的位置时,您是否有似曾相识的感觉?

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    我们可以看到新图像的横坐标写成[Frequency],也就是圆圈的记录速度,所以强烈建议看频率,想到速度,抽象为跑的速度绕一圈(个人感受,对于理解【频率】的概念很有帮助) 好!有了这个工具,先把它应用到两个声音的组合图像上,看看效果:(这是我最喜欢的动画之一)

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    什么?还是看不到上面的振动图是怎么变成圆图的?看下面的动画,以 2 圈/秒的速度环绕圆圈的白色箭头将计时信息映射到圆圈图中的可视化。再重复一遍,上图中白色箭头以一定的速度(频率,每秒几圈)往右移动,同时转化为单位内类似钟针运动的圆周运动下圈,记录振幅,绘制出图像

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    BTW,部分画面有点像动画EVA中使徒的脸,给人一种诡异的仪式感。数学的威严在这一刻可能会大放异彩,被刺的人都睁不开眼睛【公式表达】大家也发现,我们通过这样一台绕线机,完成了时域到频域的转换。一般来说,看下面的动画

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    这是一种[Near Fourier Transform],为什么是[Near],后面会提到。首先考虑,如何用数学语言来表达这个【圆记录机制(工具或机器)】?第 1 步:旋转的表示如下动画所示。在这个工具中,关键是转一圈,也就是表达旋转的运动。根据第一部分,这座桥是复平面。其背后的原理是结合泰勒公式的指数函数

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    此外,在指数函数中,以 e” role=”presentation”>ee 为底的函数具有特殊的性质,如下动画所示,单位为 π” role=”presentation”>ππ

    表示单位圆360°旋转,即每秒转一圈的旋转方程。感觉速度有点太快了,所以加一个f频率来控制旋转的速度,就是图中的1/10。表示十分之一秒

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    第二步:绕组的表示首先,根据下面的动画,在傅里叶变换中,我们规定旋转为顺时针方向(规定只是为了统一标准,有时写的简洁方便计算) , 所以先加一个负号。假设原函数为g(t),将两者的大小相乘即可得到绕组图像,

    ,可以说是相当机智了!第三步:质心的表示 如何表示质心的概念?想起来很难,但似乎很难。有一种解决问题的方法是【演绎推理】,从简单的特例开始,推广到一般,最后证明正确性可以考虑如何找到一个正方形的质心位置,我们只需要取n个等距边界上的点,并计算这些点的位置的平均值。然后将其推广到一般情况,用类似的采样点法求解,如下动画所示(紫色点为采样点),得到

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    随着采样点数的增加,需要积分来解决这个问题,如下动画所示,我们得到

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    最后一步:整理积分限制和系数见常数项系数

    ,如果忽略表示倍数关系的系数,相应的含义也会发生变化。不再是质心,但信号存在的时间越长,位置就是质心位置乘以倍数,其值越大。看下面的动画,持续时间是3秒,那么新的位置是原质心位置的3倍;如果是6秒,就是原位置的6倍

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    并且去除了系数的几何直观动画(红色箭头是去除系数后的长度)。最本质的区别是最终绘制的图像可以更集中在对应频率附近,也可以在对应频率位置。价值更大

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    继续考虑上限和下限。我们知道一般傅里叶变换公式的上下限是正无穷和负无穷,那么它的几何直觉是什么?看下面的动画,其实看看信号持续时间长什么样子无穷大

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    老实说,这个 GIF 回答了我在大学时遇到的一个问题。音乐文件并不总是有时间长度。我一直不明白为什么我要把傅里叶从负无穷变为正无穷?原来真实的情况是从负无穷到0,音乐结束到正无穷,就像上面的动画一样,其实并没有与之对应的振动幅度(电信号幅度)。结合绕圈的思路:原来从音乐开始到结束的傅里叶变换和从负无穷到正无穷的傅里叶变换是很特别的东西!(完成咆哮)当添加[相位]来表示质心时,我们只使用x轴坐标。下图中的蓝色曲线是纵坐标(y轴或虚部)的可视化,

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    那么相位是如何表示的呢?如下动画所示,红色部分为质心,长度为振幅,对应的角度为相位

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    【原始信号的长度】让我们深入一点,因为如前所述,假设我们的信号有4.5s。那么考虑原始信号长度的变化呢?首先,如果信号的长度很长,那么绕圈上的线会比较多,每次接近稳定图像的质心(即频率域图像会更密集),请参见下面的动画

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    那么相应地,如果原始信号的长度缩短了呢?如下动画所示,频域图像会更加稀疏。同理,当绕组的含量较小时,重心变化的速度也相应较慢。

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    总的来说,根据以上内容详细解释以下现象:

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    时域中的信号周期越长,频域越集中,越不容易出现混叠,越容易抽象出时间信号的周期性重复信息。自然地,出现了周期性这个词。另外,你可以自己想一想,比如一个无限时间的周期性时域信号?另一个例子是恒定幅度(一个电平)的时域信号?其实这里提示一下为什么傅里叶变换有这么多变形需要考虑,因为在缠绕的过程中,有几种特殊情况(3B1B视频这部分不解释,可能有必要to 以后会更新)总结这么长,就全部结束了。估计读者已经晕了,所以,这里总结了[seeing]的傅里叶变换,所以我不得不说一下我们从头到尾做了什么?看下面的动画

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    一步一步写出傅里叶变换公式的关联链

    结尾

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