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写在前面

不是科研狗，基础理论薄弱，写的很匆忙。如有任何误解，请理解并纠正我。

网上大佬写的傅里叶公式推导证明了很多（瑟瑟发抖）。我这里主要讲傅里叶的应用，不涉及公式的证明，而是直接使用公式。

由于自己获得的知识也是通过阅读大佬的博文获得的，所以有些图是别人的图，不过我附上了别人的链接。

阅读本文后，您可以获得：

1 傅里叶变换原理

2 傅里叶变换在音频中的应用

3 C语言代码及离散傅里叶变换处理音频的解释

背景

最近接触音视频处理比较多，遇到采集到的音频数据有噪音的情况。是否可以使用傅立叶变换来消除音频噪声？在此之前，关于傅里叶变换的概念，我只有一句话，“一种将时域转换为频域的东西”。如果我把音频的时域转换到频域，然后去掉噪声的频段，是不是就不能达到去噪的效果呢？好吧，试着去死。

嗯，折腾了几天，效果（上图是原始音频信号，下图是去除频域中的高频正交基后的音频信号）

综上所述：

1、有点效果傅里叶变换基本公式，但噪音只是降低，没有去除。使用了 DFT，这留下了改进的空间。

2.琢磨了一会，还是有很多地方没看懂。傅里叶变换是一门需要长期研究和深思熟虑的知识。把自己理解的知识点记下来，以后走图像处理的路子，再详细研究。

1.什么是傅里叶变换（分析）？

你可以参考这个

在回答这个问题时，我们首先要知道什么是转型？为什么要转型？

（1）什么是转换？

举一个常见的例子，两个向量 a 和 b 在一个坐标系中表示傅里叶变换基本公式，并且可以转换为一组坐标。

(2）为什么要转型？

比如要求c点的坐标，在图中是一个比较难处理的问题，但是经过变换，c=a+b=(2+1,1+2)=( 3、3)，在数值上很容易处理。总之，当一个问题难以处理的时候，换个思路（变换），就可以解决了。嗯，有点像线性代数。

傅里叶变换的思想是时域和频域的相互变换。

两个时域和频域

时域和频域一一对应，频域可以转化为时域

傅里叶变换类型

傅里叶变换的种类很多，通常是不带前缀的连续傅里叶变换，而离散傅里叶变换则常用于计算机处理中。最重要的是，对算法进行了改进以降低时间复杂度，这被称为快速傅里叶变换。转换。

变换在时域中周期性且连续的函数称为傅里叶级数

在时域中变换非周期连续函数称为傅里叶变换

三傅里叶级数（Fourier Series）

所以啊，傅里叶提出了这句话：任何周期函数都是由多个不同的正弦波（sin和cos）叠加而成的（如果满足Dirichli条件的话）

如图，频域由若干个正弦波组成，时域的矩形波可以由多个正弦波叠加组成（当正弦波个数趋于无穷大时，近似为一个矩形波，这有点有限）

周期函数实际上指的是时域信号，多个不同的正弦波指的是频域信号。

当然，如上图所示，要确定一个正弦波，需要知道它的相位、幅值和角频率，所以将时域转换为频域，得到一系列初始相位、幅值和角频率频率。

傅立叶说写在公式中的这句话是

或者你可以写

这个公式应该怎么理解？这需要知道正弦波的正交性。

(1）正弦波的正交性

正弦波自身的内积为1，自身与他人的内积为0，即sin(nwt)、cos(nwt)为标准正交基，加上常数1，可以用任何周期函数. 三种表示。因此只需要在时域与各种标准正交基做f(t)的内积，等于0表示不存在这样的正弦波，否则分量存在。

什么是标准正交基

线性代数：在空间中找到一组向量，当它们的内积为0且模为1时，这组向量称为标准正交基，空间中的任何向量都可以由这些标准正交基组成。

什么是内积？

嗯，你需要学习到下午 2 点[手动搞笑]

三傅里叶变换公式

(1） 欧拉公式

但是上图中的f(t)并不是和各种正弦波做内积，而是和e^-iwt做内积。实际上，这是欧拉公式在正弦波和指数之间进行转换。本质上，图中的公式就是用各种正弦波做内积。现在让我们谈谈欧拉公式。

数制

复习初中知识

自然数：1、2、3、4。.

整数：-1、1、-2、2.。. .

有理数：-1、2、2/3、4/5.。.

无理数：根 2 等。

这些共同构成实数，如实数轴所示。

但是遇到x^2=-1这样的解时，不能用实数解，引入虚数。虚数+实数=复数，如图是复平面，任意点都可以用a+bi表示

在复平面上画一个圆。由三角公式可以得到点a为cosx+i *sinx。

复平面乘法的含义：

乘以 -1 逆时针旋转 180 度。乘-i，逆时针旋转90度，复数乘法如图

现在你可以想出欧拉公式

公式的推导是使用的泰勒公式。e、sin、cos都是泰勒展开式前十名，两边展开式相等。

让我们停在这里。总之，我们可以知道傅里叶变换公式e^iwt实际上是每个sin和cos的内积。有关欧拉公式的详细说明，请参阅此

欧拉公式解释

欧拉的身份

即当角度达到180度时，返回实轴

离散傅里叶变换 (DFT)

离散傅里叶变换可以参考这个

离散傅里叶变换解释

离散和连续的区别在于，连续是积分，离散是求和

原理，如下图，a和b是要检测的信号，c和d是3周期的正弦信号，很明显a图片包含一个正弦波，e=ac，加点e图片，很明显值为正，表示图片a包含频率为3的正弦波，f=bd，显然图片f中的点相加结果约等于0，说明图片b不包含周期为 3 的正弦波

在电脑上用这个公式会好一点

n和N是在一个正弦周期内采样N个点，采样间隔为2piN，n用于步进，一步为2piN，最后累加求和，X(k)

最终离散傅里叶变换完整代码

1、从文件中读取8000条音频数据。由于现实中的音频没有虚部，所以只设置了实部。

2.离散傅里叶变换的关键点

temp的re就是上图中公式对应的cos。同理，im就是上图对应的sin。每个 X[k] 被累加和求和。

for (int k = 0; k < N; k++){X[k].re = 0;X[k].im = 0;for (int n = 0; n < N; n++){temp.re = (float)cos(2 * pi*k*n / N);temp.im = -(float)sin(2 * pi*k*n / N);X[k] = complexadd(X[k], complexMult(x[n], temp));}}

3.离散傅里叶逆变换是X(k)乘以e^(j2tkn/N)，即实部和虚部都是正的

temp.re = (float)cos(2 * pi*k*n / N);temp.im = (float)sin(2 * pi*k*n / N);x[k] = complexadd(x[k], complexMult(X[n], temp));

4、下图公式求幅值

在代码中表示

printf("%d ", int(2.0/N*sqrt(X[k].re*X[k].re + X[k].im*X[k].im)));//打印的为幅度

完整代码

#include #include #define pi 3.1415926struct complex{float re;float im;};complex complexadd(complex a, complex b) { //复数加complex rt;rt.re = a.re + b.re;rt.im = a.im + b.im;return rt;}complex complexMult(complex a, complex b) { //复数乘complex rt;rt.re = a.re*b.re - a.im*b.im;rt.im = a.im*b.re + a.re*b.im;return rt;}complex complexSet(complex *a, short *b, int N)//复数设置{for (int i = 0; i < N; i++){a[i].re = b[i];a[i].im = 0;}}//离散傅里叶变换//X[]标识变换后频域，x[]为时域采样信号void dft(complex X[], complex x[], int N){	complex temp;int k, n;for (int k = 0; k < N; k++){X[k].re = 0;X[k].im = 0;for (int n = 0; n < N; n++){temp.re = (float)cos(2 * pi*k*n / N);temp.im = -(float)sin(2 * pi*k*n / N);X[k] = complexadd(X[k], complexMult(x[n], temp));}printf("%d ", int(2.0/N*sqrt(X[k].re*X[k].re + X[k].im*X[k].im)));//打印的为幅度if (k >= 6000)//去除高频信号{X[k].re = 0.0;X[k].im = 0.0;}}}//离散傅里叶逆变换//X[]标识变换后频域，x[]为时域采样信号void idft(complex X[], complex x[], int N) {complex temp;//int k, n;for (int k = 0; k < N; k++){x[k].re = 0;x[k].im = 0;for (int n = 0; n < N; n++){temp.re = (float)cos(2 * pi*k*n / N);temp.im = (float)sin(2 * pi*k*n / N);x[k] = complexadd(x[k], complexMult(X[n], temp));}x[k].re /= N;x[k].im /= N;}}#define N 8000//采样率为8000int main() {complex samples[N], X[N], x[N]; //原始数据，变换后的频域数据，逆变换后的时域数据FILE *fp;FILE *fp2;short buf[N];int re=0;fp=fopen("./ttt.pcm", "rb");fp2 = fopen("./trans.pcm", "wb");if (!fp ||!fp2) {printf("I could not open file.n");return 1;}else{while (fread(buf, sizeof(short)*N,1 , fp) > 0)//末尾数据忽略{complexSet(samples, buf, N);dft(X, samples, N);idft(X, x, N);for (int i = 0; i < N; i++){buf[i] = x[i].re;}fwrite(buf, sizeof(short)*N,1 , fp2);}}fclose(fp);fclose(fp2);return 0;}