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  • 人类的大脑是一个奇迹,也是演化(图)

    人脑是一个奇迹,也是一个进化之谜:大约 860 亿个神经元挤在一个只有四分之一充气足球大小的空间中;一切都取决于这些神经元形成的网络。但悬而未决的问题是,我们对这些网络结构缺乏更深入的了解。

    感知仍然是一个特别令人烦恼的问题:人类大脑如何将大量输入信号(光子、气味分子、声波、皮肤上的感觉)转化为准确的心理模拟?例如,神经网络如何表征巧克力的气味?

    最近的研究表明,数学或许能够帮助我们解决这些问题。为了更好地描述涉及感知和其他认知活动的复杂网络,一些研究人员转向双曲几何。与其他几何范畴一样,它是一套关于空间、距离和联系的规律。但与大多数人在高中学习(或讨厌)的欧几里得几何不同,双曲几何描述了如果空间到处弯曲,空间是如何连接的。

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    “几何之父”欧几里得

    BilwissEdition Ltd. & Co. KG/Alamy

    “长期以来,双曲几何在生物学中一直被低估,”加利福尼亚州拉霍亚市索尔克生物研究所的 Tatyana Sharpee 说。在过去的几年里,对嗅觉系统结构的研究使她进入了双曲几何。但我们的嗅觉只是开始;她认为同样的方法可以扩展到其他感官途径和过程。

    如果像夏普这样的研究人员是对的,那么为了理解心灵,我们需要准备好接受双曲几何的教义——当他们第一次出现时,双曲几何在数学界几乎是异端。

    无底之夜的开始

    2000多年前,被称为“几何之父”的希腊数学家欧几里得在其专着《几何学》中总结了一系列规律。这些欧几里得几何定律提供了平面的、应用的、物理的世界的近似描述,并且适用于日常生活。它一直引导我们穿越山脉和海洋,建造高楼和驾驶——我们常常认为世界是按照这些规律运转的。

    但问题在于“平行公设”(欧几里得第五公设)。在最初的版本中,它提出如果一条线与另外两条线相交,并且这些线相交形成的同一侧的内角之和小于180度,那么另外两条线一定会在某个点相交(众所周知的“平行假设”的缩写版本:“平行线永不相交”)。也是在“平行假设”下,我们得到了“勾股定理”,证明了三角形的内角和是180度。

    *译者注:当一条线与另外两条线相交时,线的一侧和两条线之间有两个角。在这种情况下,这两个角被称为彼此同侧的内角。

    我们通常认为一个假设应该是不言而喻的,但在这方面,“平行假设”击中了数学家的心。它似乎在直觉上没有那么令人信服——甚至欧几里德在《元素》中的大部分命题都没有引用“平行假设”。学者们花了数千年的时间来解决这个棘手的问题,最后,在 19 世纪初,他们开始问:如果“平行假设”不一定成立怎么办?

    这个问题改变了一切。他们意识到违反“平行公设”不是意志问题,而是打开了一扇门——引入了一种仍然自洽的新几何。

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    匈牙利数学家亚诺斯·鲍耶在 2000 多年前挑战欧几里得定律

    科学史图片/ Alamy

    打破“平行假设”的想法吸引了当时许多伟大的数学家,包括卡尔·弗里德里希·高斯和尼古拉·罗巴切夫斯基。其中最引人注目的是 János Bolyai,一位有抱负的年轻匈牙利数学家,他是最早为这种新几何制定规则的人之一。1820 年,他想到了一种彻底击败欧几里得的方法。Janosz 意识到放松“平行假设”的条件打开了一扇通往非欧几里得几何的奇怪世界的窗口。

    他的父亲法卡斯很不高兴,他说了一些我们通常不会从数学家或父亲那里听到的话。

    “看在上帝的份上,放弃吧,”法卡斯写信给贾诺什。

    他在信中继续说:“讨厌这样的想法(就像淫荡的性交一样),它会带走你所有的闲暇、健康、余生和生活中的所有幸福。”数学家和高斯的终生朋友,提到高斯也挑战欧几里得。“我去丈量那无底之夜,然后我生命中所有的光明和快乐都消失了。”

    尽管他父亲的鼓励仅此而已(如果有的话),Janos 并没有就此止步,而是继续为“非欧几里得几何”(我们今天所说的)制定规则。在欧几里得几何中,三角形的内角加起来是 180 度,平行线永远不会相交。在非欧几里得几何中情况并非如此。球面几何就是一个例子——如果你在一个球体上画一个三角形(比如连接北极、檀香山*和迈阿密),它的内角加起来会超过 180 度。

    双曲几何是另一种著名的非欧几何。跨越三维空间的双曲平面看起来并不平坦。它看起来更像是品客薯片或马鞍,到处都是弯曲的。如果你站在双曲平面上,朝着某个方向迈出一步,你就会上升;如果你转身90度再走一步,你会再次跌倒。在双曲空间中,三角形的内角和小于 180 度。

    修道院和非欧洲视野

    100 多年前,一项几乎被遗忘的研究表明,双曲几何可以帮助解释视觉感知过程。1902 年,德国科学家 F. Hillebrand 进行了胡同实验,10 年后,W. Blumenfeld 重复了该实验*。实验在黑暗环境中进行,受试者头部固定,直视前方。呈现给被试的刺激是两条发光的线状刺激,两端固定(固定端相对于被试视线轴对称)(见下图化学中的三角形表示什么,E代表固定端点)。受试者被要求完成两项任务:(1)平行,其中受试者调整刺激,使他们彼此成一条直线;(2)距离),其中受试者调整刺激,使他们在一条直线上。两条线处处等距。实验结束时,被试仿佛在看一条胡同的中间(这也是实验名称的由来,胡同实验可以直译为胡同实验)。

    *译者注:此处对原文进行了修改,以便读者了解实验过程。参考论文:Zajaczkowska, A. (1956). Luneburg 理论的实验检验。直升飞机和小巷实验。JOSA, 46(7), 514-527.

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    布卢门菲尔德的平行线实验。实验结果发现,受试者排列的平行线实际上是曲线;并且平行任务下获得的曲线比距离任务下获得的曲线更接近视线。

    Zajaczkowska, A. (1956). Luneburg 理论的实验测试。 直升机和小巷实验。 JOSA, 46(7), 514-527.

    但这些实验揭示了一个悖论:被试通过自己的感知将某些直线判断为平行直线,但实际上它们既不是直线也不是平行,而是曲线。1940 年代,德国数学家 Rudolf Luneburg 确实在达特茅斯眼科研究所工作,这可以帮助我们理解为什么平行线的感知与现实之间存在分离。他发现,通过双目视觉,我们的感知形成了我们周围环境的三维地图,包括事物的形状和位置。他试图找到一个矩阵来将物理现实世界映射到我们所看到的世界。

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    在 20 世纪,双曲几何成为艺术灵感的来源:例如,荷兰艺术家 MC Escher 在他的作品中描绘了双曲几何模型。今天,来自康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜(Daina Taimina)遵循这一创造性传统,以一种每个人都可以握在手中的方式编织了一个双曲空间模型。

    吕讷堡等人。得出结论,感知定律是非欧几里得的,可以用双曲几何更好地描述。几十年后的1983年,科学哲学家帕特里克·希兰也证明了双曲视觉空间的存在;海兰还指出,保罗塞尚、文森特梵高等画家文森特梵高和约瑟夫马洛德威廉特纳等画家在他们的作品中描绘了双曲线结构。

    气味的几何学

    现在,还没有结束。研究人员继续探索感知网络的结构,最近的一些实验证据支持视觉空间确实是非欧洲的。在 2018 年的一项研究*中,研究人员报告说,人们认为使用非欧几里得几何定律创建的图像(经过分析的图像)更真实。

    夏普说,夜空也为双曲线感知提供了强有力的证据。我们将黑暗中的宇宙视为一个圆顶,但天文距离被扭曲了。她提到孩子们伸手去拿月亮是因为它看起来很近,但“距离被压缩了”。

    这可能是解开感知双曲线性质之谜的关键:它只发生在大的、环绕的尺度上。“任何小尺度的曲线几何都是欧几里得,”她说。由纽瓦克市、纽约市和 Nyack* 组成的三角形遵守欧洲法律。“这符合地球平坦的假设。但如果是从纽约到伦敦再到墨尔本,情况就不同了,”她说。

    这是她的嗅觉地图*的中心思想,就复杂性而言是巨大的。很容易假设具有相似分子结构的嗅觉分子闻起来是一样的(这就像认为我们认为平行线是平行的)。但夏普的发现并非如此。在实验中,受试者被要求将相似的气味归为同一组,夏普分析了实验得到的结果和常见气味的化学结构。

    她的研究结果表明,人类大脑根据气味通常一起出现的频率对气味进行分类,而不是根据它们的分子构成。当她将实验中的气味组绘制成嗅觉图时,夏普发现具有相似分子结构的气味剂之间的距离最符合双曲几何(而不是欧几里得几何)中的距离概念。她的工作表明,如果我们将感知信息组织成一个弯曲的空间,我们或许能够更多地了解大脑是如何组织感知信息的。

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    –安德烈·库兹明/Shutterstock –

    双曲几何,文盲数学,除了模拟大脑感知的复杂结构之外化学中的三角形表示什么,还有其他用途。在即将发表的论文* 中,巴塞罗那的物理学家模拟了多个物种的动物大脑网络。他们发现一个神经元不一定与它最近的神经元通信(根据欧几里得几何,这是你可能期望发生的),而是遵循不同的、更奇特的几何定律来形成中继网络。在他们的论文中,他们报告说,双曲空间为各种物种大脑内的连接网络“提供了近乎完美的导航地图”。他们说,双曲线几何暗示了“一种新的大脑制图”。相似地,

    “双曲几何是表示大脑结构复杂性的一种非常自然的方式,”魁北克拉瓦尔大学的物理学家安托万·阿拉德说,他在巴塞罗那完成了博士后研究。该大学从事跨物种研究。

    做一个在无底之夜出生的数学家叛徒也不错。

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