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  • 【知识点】书上讲的很明白了(图)

    其实书里说的很清楚。相似度矩阵本质上是一个在不同基下线性映射的表示矩阵。

    给定一个 n 阶矩阵 A,如果 A 可以对角化,那么一定有一个可逆矩阵 P 使得 A=PDP-1,其中 D 是对角矩阵

    将可逆矩阵P写成列向量的形式,即令P=(α₁,,,αₙ),同时将矩阵P在上式两边相乘,则上式为:

    A(α₁,,,,αₙ)=(α₁,,,,αₙ)D,记对角矩阵D的对角元素为λₓ,则上式可根据矩阵乘法的定义展开:

    Aα₁=λ₁α₁,,,,Aαₙ=λₙαₙ,

    这正是矩阵A的特征值的特征向量的定义。因为P是可逆的,所以它的列向量一定是线性独立的,所以P的列向量群(α₁,,,αₙ)也是线性无关的。在线性代数的语言中,矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量,这是矩阵 A 可对角化的充分必要条件。

    反之,如果 A 没有足够多的线性独立特征向量,则可逆矩阵 P 不存在,则 A 不能类似地对角化为矩阵 D。

    相似矩阵的本质是不同基下的同一个线性映射矩阵,所以研究矩阵相似对角化条件的实质就是研究线性映射的相似对角化条件。那么为什么线性地图不能对角化呢?举个简单的例子,线性映射A定义为A(x,y)’=(y,x)’,’符号表示转置。这个线性映射不能对角化,因为它的特征方程是λ²=-1。在实数域中,这个方程没有解,没有特征值,当然也没有特征向量,所以当然不能对角化。从几何的角度来看,线性映射作用于向量,由向量的旋转和扩展来表示。为了简化问题,我们检查 R² 空间。如果我们围绕一个圆旋转一个单位向量,然后使用一个线性映射作用于这个单位向量。可以发现,在某些方向上,这种线性映射不能使这个向量旋转,只能产生膨胀。这些方向的向量就是这个线性映射的特征向量,膨胀系数属于这个特征向量的特征值。如果这个线性映射没有足够的线性独立特征向量,它一定不能对角化。例如,一个旋转线性图,其几何效果是将一个向量旋转角度 θ 不能对角化,因为没有非零向量在其作用下“不旋转”,非旋转向量就是它的特征向量。这种线性映射不能使这个向量旋转,只能产生膨胀。这些方向的向量就是这个线性映射的特征向量,膨胀系数属于这个特征向量的特征值。如果这个线性映射没有足够的线性独立特征向量,它一定不能对角化。例如,一个旋转线性图,其几何效果是将一个向量旋转角度 θ 不能对角化,因为没有非零向量在其作用下“不旋转”,非旋转向量就是它的特征向量。这种线性映射不能使这个向量旋转反a字模型证明相似,只能产生膨胀。这些方向的向量就是这个线性映射的特征向量,膨胀系数属于这个特征向量的特征值。如果这个线性映射没有足够的线性独立特征向量,它一定不能对角化。例如,一个旋转线性图,其几何效果是将一个向量旋转角度 θ 不能对角化,因为没有非零向量在其作用下“不旋转”,非旋转向量就是它的特征向量。如果这个线性映射没有足够的线性独立特征向量,它一定不能对角化。例如,一个旋转线性图,其几何效果是将一个向量旋转角度 θ 不能对角化,因为没有非零向量在其作用下“不旋转”,非旋转向量就是它的特征向量。如果这个线性映射没有足够的线性独立特征向量,它一定不能对角化。例如,一个旋转线性图,其几何效果是将一个向量旋转角度 θ 不能对角化,因为没有非零向量在其作用下“不旋转”反a字模型证明相似,非旋转向量就是它的特征向量。

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