【知识点】几何直观能力的标准（一）——就是考查

所谓几何直觉，就是用看到的图形去思考和联想，本质上就是通过图形发展起来的想象。在九年级的几何决赛中，有很多使用几何直觉的例子。几何直觉是基于对图形的属性和变化的深入理解，尤其是动态几何问题。通常不可能在标题图中描述所有内容。学生需要想象整个运动过程。动作是否准确是考查学生几何直觉能力的标准。

话题

如图1所示，E和F为正方形ABCD的对角线AC上的两点c语言写点旋转，∠ABE+∠FBC=45°，将△BGC绕B点逆时针旋转90°得到△BEA，连接FG，周长为△FGC为√2a。

(1)如果F和G关于BC对称，求∠BEF的度数；

(2)求AC的长度；

(3)如果图1中∠CBG=30°，则将△BGC从起始位置绕B点逆时针旋转n°(0

解析：

(1)掌握图中的旋转和对称，是等价转换的常用条件，旋转代表BG=BE，对称代表BG=BF，所以可以得到BE=BF，问题也给出了∠ABE+∠FBC=45°，所以∠EBF=90°-45°=45°，此时的△BEF变成等腰三角形，顶角为45°，∠BEF=6 7.5 °;

(2)题目条件中给出了△FGC的周长，计算出AC的长度，所以先分析它们之间的相关性。由于旋转变换，△FGC的部分周长，即CG长度，已经换算成AE位置，CF的一部分恰好在AC上，那么剩下的FG是否等于EF呢？这样，它的周长正好是AC的长度，而只需要证明FG=EF，所以我想证明△BEF≌△BGF，我们来找出它们全等的条件。

△CBG≌△ABE可以通过旋转得到，所以BG=BE，∠CBG=∠ABE，CG=AE，∠ABE+∠FBC=45°，所以先找到∠EBF=45°，同时∠ GBF=∠CBG+∠FBC=∠ABE+∠FBC=45°，最后加上中间公共边BF，可以证明△CBG≌△ABE，所以我们之前的期望已经实现了，△FGC的周长为全部换算到交流侧，即AC=√2a；

有必要对共线情况进行分类和查找。图中最简单的就是找A和B的共线了，毕竟他们没有动，有A、B、C’共线。A、B、G’共线，则A、C’、G’共线。根据旋转位置的不同，每个共线可能有多种情况。让我们从动态的角度开始尝试绘制和分析：（旋转后的点C和G分别用C’和G’表示）每个共线性可能有多种情况。让我们从动态的角度开始尝试绘制和分析：（旋转后的点C和G分别用C’和G’表示）每个共线性可能有多种情况。让我们从动态的角度开始尝试绘制和分析：（旋转后的点C和G分别用C’和G’表示）

①A、B、G’共线，如下图所示：

也就是说，当点G落在A​​B的边上时，旋转角度为∠ABG。从条件可以看出∠ABG=120°，即n=120，点G’到AB的距离为0，即d=0；

②A、C’、G’共线，如下图所示：

这很容易被忽视。毕竟，要在“空中”找到共线并不容易，为什么会共线呢？有两个条件可以保证，一是∠BC’G’=45°，二是BC=AB，你不妨接AC’，所以△ABC’是等腰直角三角形，∠BC’G’ =45°，∠BC’A=45°，表示A、C’、G’三点共线，旋转角度为180°，即n=180.此时此时，在H点令G’H⊥AB，距离d=G’H，推导如下：

③A、B、C’共线，如下图所示：

当C’点落在AB的延长线上时，旋转角度为270°，即n=270，仍为G’H’⊥AB，推导如下：

④A、B、G’共线，如下图所示：

G’点落在 AB 的延长线上。与第一种情况相比，位置不同。此时旋转角度为300°，即n=300，点G’到AB的距离为d=0.

综上所述，当n=120时，(√3+1)d=0；当n=180时，(√3+1)d=√3a；当n=270时，(√3+ 1)d=a；当n=300时，(√3+1)d=0.

解决问题的反思

分类讨论时如何保证不重复或不遗漏？首先，你必须对整个运动过程有一个清晰的认识。在给学生讲解时，很容易用几何画板或其他辅助手段来展示。然而，在考场，却没有这样的技术手段。事实上c语言写点旋转，高等数学还有更多的抽象。也许辅助手段不好用。培养学生的抽象思维能力必须从中学阶段开始，而动态图形的想象力就是很好的素材。

在回答这个问题的过程中，备用图是用来作图的，也就是用来画几个旋转的图形来弥补想象力的不足，或者记录一下结果。养成了好习惯的同学，即使用最“笨”的方法一张一张画，通常也能最终解决这个问题。在没有回答这个问题的学生中，他们没有考虑白纸，而已经回答问题的学生往往是绘画习惯不佳的最困难的学生。他们可能在课堂上很认真地看老师的图纸和计算，但是他们的笔没有动。，脑子不转，只用听，就是这种学生，反复“会说会说错”，