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  • 【干货】数值计算方法的若干应用实例的求解(二)

    摘要 本文讨论了数值计算方法的几个应用实例的求解,包括线性规划、常微分方程和多项式插值。线性规划是运筹学中常用的方法,在现代管理中发挥着重要作用。比如,企业如何合理分配任务,最大限度地利用资源,配方问题。常微分方程在许多学科中都有重要的应用,例如与物理学结合成动力学模型、流体模型、经济学中的新产品推广模型等。插值法在复杂函数的计算和图形中得到了充分的应用。可见,数值计算方法在实践中得到了广泛的应用。本文通过介绍一些解的例子来了解数值方法在实际建模中的应用。最后,还有数值方法与计算机相结合的简单应用。关键词:数值计算;配方问题;动态模型;常微分方程在许多学科中与物理学相结合都有重要的应用,如承德动力学模型、流体模型、新产品推广模型经济学等。复杂函数计算中的插值方法,图形充分利用了它。可见数值计算方法在实际应用中非常广泛。本文介绍了一些求解的实际例子,以了解数值方法在实际建模应用中的作用。最后也有了数值方法与计算机的简单应用 关键词:数值方法;食谱问题;动态模型;复杂计算目录总结 1 第 1 章 前言 4 第 2 章 线性规划的应用 52.1 线性规划的定义 52.1. 1 线性规划的定义 52.1.2 变量 52.1.3 目标函数 52.1.4 约束 52.2 线性规划的数学模型52.3 应用线性规划的例子62.3.1投资风险问题62.3.2生产计划问题82.3.3 配方问题9 第三章普通函数的应用微分方程 113.1 常微分方程介绍 113.2 常微分方程的解 113.@ >3 常微分方程的应用实例 123.3. 1流体混合数学模型123.2.2动态模型133.3.3新产品推广模型14第四章插值法应用154.1插值法介绍154.1 .1 插值法的定义154.1.2 拉格朗日插值公式 15 4.1.3 牛顿插值算法 164.1.4 埃特金插值公式 174.@ >1.5 三次样条函数 174.1.6 曲线拟合和最小二乘的定义 174.2 插值应用实例 184.2. 1 复杂函数的计算 184. 2.2 日常生活中的应用 184.2.3 基于 Mathematica 的数值计算实例 19 主要参考文献 20 致谢 21 数值计算的几个应用实例计算方法 随着计算方法的飞速发展,几乎所有学科都朝着量化和精密化方向发展,由此产生了计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料等一系列计算学科分支。计算数学中的数值计算方法是解决“计算”问题的桥梁和工具。

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    数值计算法是一种用于研究和求解数学问题的数值近似求解方法。科学研究和工程技术中使用了各种计算方法。例如,在航空航天、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的痕迹。计算方法在数学课程中既具有理论抽象性和严谨性生活中云计算的例子,又具有实用性和实验性的技术特点。计算方法是一门具有很强理论性和实践性的学科。该计算方法的计算对象是微积分、线性代数、常微分方程中的数学问题。内容包括:插值方法、普通微分、线性规划等。本文简要讨论了这些方面在实践中的应用。第2章线性规划的应用线性规划是一种优化方法,用于解决目标函数和约束方程都是线性函数的问题。在 1920 年代和 1930 年代,经济学家在研究资源优化配置时,首先发现这类优化问题属于线性规划类型。 2.1 线性规划的定义2.1.1 线性规划的定义 成为目标函数的最优解。 2.1.2 变量变量也称为未知数,是实际系统中的未知因素。也是决策系统中的一个可控因素,一般称为决策变量,常用英文字母和下标表示,如x1、x2、x3、…、xn等。

    2.1.3 目标函数以数学形式表示实际系统的目标,称为目标函数。线性规划的目标函数是求系统目标的数值,即最大值,如最大产值、最大利润或最小值,如最小成本、最小成本、最小损失等。 2.1.4 约束 约束是限制系统目标实现的约束。它涉及企业内部条件和外部环境的方方面面,如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量要求和市场销售状况等。这些因素都制约着模型的变量生活中云计算的例子,所以它们是称为约束。 约束有三种数学表示,即≥、=、≤。线性规划的变量应该是正的。 2.2 线性规划的数学模型对于给定的实际问题,首先是建立线性规划问题的数学模型,其次是寻找问题的最优解。线性规划问题的数学模型的一般形式是找到一组满足约束的变量:最小化或最大化目标函数。使目标函数最小的可行解称为最优解。 2.3 线性规划应用实例2.3.1 投资风险问题实例 某部门现有资金200万元,未来五年将考虑投资以下项目已知:项目A:从第一年到第五年,每年年初可投资,年末可收回本金和利润的110%; B项目:第一年至第四年每年年初可投资,次年年底可收回本金和利润的125%,但每年最高投资额不能超过30万元;项目C:必须在第三年年初投资,第五年末可以收回140%的本金和利润,但最高投资额不能超过80万元; D:需要在第二年年初进行投资,到第五年末可以收回155%的本息,但最高投资额不能超过100万元。

    根据每万元投资风险指数的确定,如下表1: 表1 Q:如何确定这些项目的年投资额,使资金本息金额在第五年年底是最大的?如何确定这些项目的年度投资额,使第五年末的资金和利润以330万元为基础,使总投资风险因素最小化?解:确定决策变量:连续投资问题 令 xij ( i = 1~5, j = 1~4) 表示在第i年年初,投资A(j=1)@ >, B(j=2), C(j=3), D(j=4) 项目金额。因此我们建立以下决策变量: A x11x21x31 x41 x51 B x21x22 x32 x42Cx33Dx24 约束条件:第一年:A 年末可以收回投资,所以第一年年初要全部投入资金,所以 x11+ x12 = 200 第二年:B 只能收回第二年年底投资,所以第二年年初有资金1.1 x11,所以x21 + x22+ x24 = 1.1×11 第3年:年初有是资金 1.1×21+ 1.25×12,所以 x31 + x32+ x33 = 1.1×21+ 1.25×12 第 4 年:年初资金 1.1×31+ 4 ), x33 ≤ 80, x24 ≤ 100目标函数和模型:Max z = 1.1×51+ 1.25×42+ 1.4×33 + 1.55×24

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