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  • 【每日一练】成才之路2016年春第1章解三角形12

    2015-2016学年年高二数学同步练习1.2《应用举例第1课时距离问题》(新人教B版必修5)图片

    人才之路2016春季高中数学第1章解三角形12个应用实例第一节课时距离题同步练习新人教学版B必修5一道选择题1.海中有两个小岛AB相距 10 英里。从A岛看C岛和B岛,视角为60度。从B岛看C岛和A岛,视角为75度。那么BC之间的距离就是A。10eqr3nmileB。 10eqr6nmile C. 5eqr2nmile D. 5eqr6nmile [答案] D [解析] 由正弦定理可知,eqfBCsin60deg=eqf10sin45degthere4BC=5eqr62。有人向正东走 xkm 后,他向右转 150 度,然后向新方向走 3km。结果如图 一货轮航行到m处 测得灯塔s在货轮的北偏东,他离起点正好是eqr3km,那么x的值就是A.eqr3B。 2eqr3C。 2eqr3 或 eqr3D。 3【答案】C【解析】根据题意画一个三角形。那么 angABC=30deg 可以通过余弦定理 cos30deg=eqfx2+9-36xthere4x=2eqr3 或 eqr33 得到。 A、B两座灯塔与海洋观测站C的距离等于akm。灯塔A在观测站C以东20度,灯塔B在观测站C以南40度。那么灯塔A和灯塔B的距离就是A.akmB。 eqr3akmC. eqr2akmD. 2akm[Answer]B[Analysis]angACB=120degAC=BC=a AB=eqr3akm 可以从余弦定理得到。 4. 2016年middot三亚中学2检测到一个长10m的斜坡,其倾角为75度。在不改变坡高和坡顶的前提下如图 一货轮航行到m处 测得灯塔s在货轮的北偏东,通过加长坡面将坡角改为30°,并延长坡底。 A. 5MB。 10℃。 10eqr2mD。 10eqr3m【答案】C【解析】如图△ABC,由正弦定理得eqfxsin45deg=eqf10sin30degthere4x=10eqr2m5。河岸上有一座高30m的炮台。河里有两艘船。从炮台顶部测量的俯角分别为45度和30度,两艘船与炮台底部的连线形成30度角。 10eqr3mB。 100eqr3mC。 20eqr3mD。 30m【答案】D【解析】设炮塔顶部为A,两艘船分别为BC。炮塔底部为D,可以知道angBAD=45degangCAD=60degangBDC=30degAD=30,分别在Rt△ADBRt△ADC中,BD=30DC=30eqr3在△DBC中,BC2=DB2+DC2-2DBmiddotDCcos30deg为由余弦定理求解,BC=306。 2016年南昌模拟 当A船位于A处时,获悉在其正东20海里的B处有一艘遇险渔船,等待救援。 A 船立即前往救援同时通知 B 船,该船在南偏西 30 度,距 C 船 10 海里,立即向 B 的角度方向驶去theta + 30deg 向北向东。那么 sintheta 的值为 A. eqfr217B。 eqfr22C. eqfr32D。 eqf5r714[答案]A[分析]连接BC。在△ABC中,AC=10AB=20angBAC=120deg。由余弦定理,BC2=AC2+AB2-2ABmiddotACmiddotcos120deg=700there4BC=10eqr7 再由正弦定理,eqfBCsinangBAC=eqfABsinthetathere4sintheta=eqfr217 两个填空题 7. 两艘船同时从A港出发。 A 船以每小时 20 海里的速度向东北偏东 80 度方向航行。 B船以每小时12海里的速度航行,向东北偏西40度的方向航行。 【解析】如△ABC所示,AB=20AC=12angCAB=40deg+80deg=120deg 根据余弦定理,BC2=202+122-2times20times12middotcos120deg=784there4BC=28nmile。 8. 一艘船以24kmh的速度向正北方向航行,在A点看到灯塔S。在船东北30度方向15分钟后,15分钟后在A点看到灯塔B,在船东北65度方向看到灯塔,此时船在B点 时间B到灯塔S的距离______km 精确到01km [答案] 52 [分析] 制作示意图如图图。根据题意,AB=24timeseqf1560=6angASB=35deg。根据正弦定理,可以得到 eqf6sin35deg=eqfBSsin30deg 为 BSasymp52km。 3 问题 9 的答案 如图 A 所示,A 船以每小时 30eqr2nmile 的速度向正北方向航行。 B 船沿固定方向匀速直线航行。当A船在A1时,B船在B1,在A船以北105度以西,此时两船相距20海里。当 A 船航行 20 分钟到达 A2 时,B 船航行到 B2,即 A 船西北偏西 120 度。此时两船距离为 10eqr2n

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    mile询问B船每小时航行多少英里【解析】解决方法是如图连接A1B2。已知A2B2=10eqr2A1A2=30eqr2timeseqf2060=10eqr2there4A1A2=A2B2 且angA1A2B2=180deg-120deg=60degthere4△A1A2B2是等边三角形there4A1B2=A1A2 =10eqr4由已知弦A1B1=20degB61A15B2由余=A05Bdeg2定理得B1Beqoal22=A1Beqoal22+A1Beqoal21-2A1B1middotA1B2middotcos45deg=202+10eqr22-2times20times10eqr2timeseqfr22=200there4B1B2=10eqr2因此乙船的速度的大小为eqf10r220times60=30eqr2nmileh.答乙船每小时航行30eqr2nmile解法二如图连结A2B1由已知A1B1=20A1A2=30eqr2timeseqf2060=10eqr2angB1A1A2 =105degcos105deg=cos45deg+60deg=cos45degcos60deg-sin45degsin60deg=eqfr21-r34sin105deg=sin45deg+60deg=sin45degcos60deg+cos45degsin60deg=eqfr21+r34在In △A2A1B1, A2Beqoal21=A1Beqoal21+A1Aeqoal22-2A1B1middotA1A2middotcos105deg=10eqr22+202-2times10eqr2times20timeseqfr21-r34 =1004+2eqr3 根据余弦定理。 there4A2B1=101+eqr3.由正弦定理得sinangA1A2B1=eqfA1B1A2B1middotsinangB1A1A2=eqf20101+r3timeseqfr21+r34=eqfr22there4angA1A2B1=45deg即angB1A2B2=60deg-45deg=15degcos15deg=sin105deg=eqfr21+r34在△B1A2B2中由已知A2B2=10eqr2由余弦定理得B1Beqoal22=A2Beqoal21+A2Beqoal22-2A2B1middotA2B2middotcos15deg=1021+eqr32+10eqr22-2times101+eqr3times10eqr2timeseqfr21+r34=200there4B1B2=10eqr2乙船速度的大小为eqf10r220times60=30eqr2nmileh答乙船每小时航行30eqr2nmile一选择题1.如图1所示,货轮驶向M,在货轮东北15°处测量灯塔S,灯塔S在20nmile外,然后货轮向西北30°方向航行30分钟,然后测量灯塔S货轮的东北方向。货机的速度为A.20eqr2+eqr6nmilehB。 20eqr6-eqr2nmilehC. 20eqr6+eqr3nmilehD. 20eqr6-eqr3nmileh[答]B[解析]根据题意,angNMS=45degangMNS=105deg,则angMSN=180deg-105deg-45deg=30deg,MS=20。在△MNS中,eqfMNsin30deg=eqfMSsin105degthere4MN=eqf20sin30degsin105deg+eqf10degsin60deg=eqf10degsin60deg=eqf10sin60degcos30deg+cos60degsin30deg=eqf10fr6+r24=10eqr6-eqr2.那里4的货机速度为10eqr6-eqr2divideeqf12=20eqr6-eqr2nmileh。 2. 一艘船正向北航行,在正西方向看到两个相距10nmile的灯塔,与它成一条直线半小时,然后在船的南西60度的方向看到一个灯塔和一个西边的灯塔-船南 75度方向船的速度是A. 5nmileB。 5eqr3nmile C. 10 英里 D. 10eqr3nmile[Answer]C[Analysis]如图,根据题意,有angBAC=60degangBAD=75degthere4angCAD=angCDA=15deg,因此CD=CA=10。在 Rt△ABC 中,AB=5there4 这艘船的速度为 eqf505=10nmileh。两道填空题3

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    . A 船在 A 岛正南的 B 处以 4 公里/小时的速度向北航行。AB = 10 公里。同时,B船以6km/h的速度从A岛出发,向东偏北60度的方向航行。当 A 和 B 两艘船距离最近时,它们正在航行。现在的时间是 __________。 [答案] eqf1507min [解析] 如图,当两艘船航行时,A船去D地,B船去C地,那么AD=10-4tAC=6tangCAD=120deg 如果ADprime=4t-10AC= 6tangCADprime=60deg 所以CD2=6t2+10- 4t2-2times6ttimes10-4ttimes-eqf12=28t2-20t+100there4 当t=eqf514h时,CD2最小,即最近的两艘船为t=eqf514h=eqf1507min4。据了解,该船在A点测得其在东南偏东30度的海上有一座灯塔。 C船以每小时30海里的速度向东南航行半小时,到达B点。在B点,可以看到灯塔在船的正西。此时船与灯塔的距离为________nmile【答】eqf5r6r3-12【解析】如图所示angCAB=45deg-30deg=15degangACB=180deg-60deg=120degAB=30timeseqf12=15there4BC= eqfABtimessinangCABsinangACB=eqf15timessin15degsin120deg∵insin15deg =sin45degcos30deg-cos45degsin30deg=eqfr6-r24there4BC=eqf5r62eqr3-1nmile。三答题 5.如图所示,我们的炮兵阵地位于地面A,两个观测站分别位于地面点C和D。 CD=6000米。 angACD=45degangADC=75deg 当目标出现在地面 B 时,我们测量 angBCD=30degangBDC=15deg 得到炮兵阵地到目标的距离。结果保留了根号 [Analysis] 因为 angADC=75degangBDC=15degthere4angADB 是直角。问题中有很多三角形,可以以△ABD为直角三角形为突破口,简化计算。在 ΔACD 中,angCAD=60degAD=eqfCDmiddotsin45degsin60deg=eqfr63CD。在△BCD angCBD=135degBD=eqfCDmiddotsin30degsin135deg=eqfr22CDangADB=90deg 在Rt△ABD AB=eqrAD2+BD2=eqfr426CD=1000eqr42m。回答炮兵阵地到目标的距离是1000eqr42米。 6、如图所示,在海中的一个小岛周围38海里有一个礁石。一艘船从西向东航行,在北部以东75度看到该岛。船行八海里后,我看到该岛在北面以东 60 度。如果船不改变航向继续前进,有没有撞礁的危险? 【解析】在△ABC中,AC=8angACB=90deg+60deg=150degangCAB=90deg-75deg=15degthere4angABC=15degthere4△ABC是等腰三角形BC=AC=8,在△BCD中angBCD=30degBC=8there4BD=BCmiddotsin30deg=4gt38,所以这艘船没有撞到岩石的危险。 7.“蓝天”渔船在蔚蓝的水域A点作业。 “白云”货机在B处,距离“蓝天”正南20海里。现在“白云号”正以每小时10海里的速度向北行驶,而“蓝田号”同时以每小时8海里的速度从A向西南60度行驶,经过多少小时“蓝天”号 rdquo 和 ldquo 白云号 rdquo 两艘船距离最近。 【解析】如右图,假设“蓝天”的渔船驶往C、“白云”,货轮驶往D。此时,“蓝天”之间的距离而“白云”就是CD。然后根据题意,在△ACD,AC=8tAD=20-10tangCAD=60deg,由余弦定理,CD2=AC2+AD2-2timesACtimesADcos60deg=8t2+20-10t2-2times8ttimes20-10ttimescos60deg=244t2-560t+ 400=2144t-eqf70612+400-244timeseqf706-244timeseqf706-244timeseqf706 CD2达到最小值,即“蓝天”和“白云”两船距离最近。 A eqf7061h之后,“蓝天”和“白云”距离最近。页

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