基于微表面模型的镜面反射项及其实现方式（上）

前言

最近在学习基于物理的渲染，看了知乎的文章《猴子能看懂的PBR》，但是对Cook Torrance BRDF的一些细节不是很清楚。经过深思熟虑，我总结了这篇文章，简单梳理了模型的细节。

在阅读本文之前，您可能需要阅读 LearnOpenGL 中对 Cook-Torrance BRDF 的描述。本文将作为梳理和补充。另请查看有关实时高质量着色的 GAMES202 课程。

概览

该模型是基于微表面模型的基于物理的BRDF模型，表达式为：

它描述的总体思路是：

以上两种交互的解释：

因此，总的BRDF分为两部分，一部分（

) 被折射，另一部分 (

) 被反射。每个部分的具体行为由 sub-BRDF 描述。

朗伯漫反射

第一部分能量进入物体，然后发射出去。它可以用漫反射模型来近似。 BRDF 是：

推导过程可以看GAMES101课程中漫反射材质的推导，分母其实是用来标准化的。

基于微表面模型的镜面反射

这是根据GAMES202中的写法结合LearnOpenGL稍微改写的公式。下面结合后面提到的具体实现来说明公式的输入输出。公式中的几个方向：

根据分子对参数的依赖性来理解分子的三个术语：

下面详细介绍了分子的三个术语以及它们是如何实现的。

正态分布函数

从名字上看，我们希望“正态分布函数”能够描述物体表面每个微表面的法线分布。我们在宏观层面将物体的表面法线设置为

，即人们可以直接感知的与物体表面垂直的方向；设一个微观表面在微观层面的法线方向为

。直觉告诉我们，正态分布函数应该是这样的：

.

对于特定的表面，即固定

我们希望

可以告诉我们法线方向是什么

微表面总数的百分比是多少。这样

它与概率密度函数非常相似。

另一方面，从图形渲染的角度来看，我们已经知道传入和传出的方向，以及它们的中途向量

;前面假设微表面的反射是完全镜面反射的，即只有法线方向

还有我们的中途向量

只需要考虑那些完全重合的微表面，其他微表面从当前视角观察

完全没用。因此，我们想知道

这些微表面的百分比。

这样，正态分布函数就变成了

。所以，“正态分布函数”代表了两个层次的意思，第一层次是字面意思，应该描述微表面法线的分布，所以应该依赖于

;第二层应该指出对于特定的光源和相机方向，微表面可以贡献多少比例，以及多少光可以反射到相机方向，这应该取决于

.

接下来，我们只考虑各向同性的情况，即物体被包裹起来

旋转，我们应该看到同样的情况，所以正态分布函数只是一样

和

夹角

是相关的，所以接下来只会出现他们的点积，也就是角度的余弦。

一个经典的实现是 GGX 函数，其中

是粗糙度：

这个函数看起来像上图中的黄线，横轴代表

和

夹角。我们也可以从上面提到的两个角度来理解这个“正态分布函数”。

首先，从字面意义上来说，它反映的是微表面法线的分布，会是

用微表面法线方向替换

你可以得到：

什么时候

和

夹角越大，

笔记越小

为负数，所以分母越大，整体值越小。这个东西的意思是：大部分微表面法线接近宏观法线方向（更平坦）史密斯圆图怎么读反射系数，少数微观表面法线与宏观表面法线方向相差很大（更崎岖不平）。

如下图左侧的蓝色Lobe，以视觉方式显示。不管是光滑的还是粗糙的，都是向上的多，侧向的少。

二是从对象渲染的角度来看问题。特别注意，当我们看镜面反射角时，中途矢量

它们比较接近法线方向

.

什么时候

和

夹角越大

，GGX 函数值越小。这意味着当我们远离镜面反射的方向看时，我们看到的光越少。从上图右侧的渲染球体可以看到可视化结果。正态分布函数的作用其实体现在高光效果上。

LearnOpenGL中给出了GGX的实现：

float D_GGX_TR(vec3 N, vec3 H, float a)
{
    float a2     = a*a;
    float NdotH  = max(dot(N, H), 0.0);
    float NdotH2 = NdotH*NdotH;
    float nom    = a2;
    float denom  = (NdotH2 * (a2 - 1.0) + 1.0);
    denom        = PI * denom * denom;
    return nom / denom;
}

几何

几何术语描述了微表面之间相互作用的结果，具有两种效果：阴影和阴影：

阴影项目和入射方向

相关，遮蔽项与退出方向有关

相关，越偏离宏观法线方向

，越容易出现阴影和遮挡，几何值应该越低。同时，阴影和明暗也可能相互作用，比如阴影只是被遮挡，所以两者要综合考虑。因此，几何项应该被描述为

.

但是这样做太复杂了。我们还是不考虑shadow和shading的纠缠关系。暂时我们认为两者是独立的，所以我们得到一个近似的方法，Smith的方法：

可以看出，我们甚至假设“阴影”和“遮挡”的功能形状是一样的，都是

。那么这个简化函数究竟是什么？我们还使用称为 Schlick-GGX 的方法考虑各向同性场景：

注意

在公式中

可以替换为

对于掩蔽项的计算，

这是一个粗糙度级别

正相关系数，详见其他资料。

这个函数其实是余弦函数的修改，当系数

如果是1，分母就变成0，变成纯余弦函数。当系数

为0，则整个函数变为常数1。

看起来像下图史密斯圆图怎么读反射系数，其实是余弦函数和常数函数之间的一种中间形式，但是当角度接近90度（掠角）时，函数值会急剧下降。这意味着在扫视镜头中更容易出现阴影或遮挡，这与我们的直觉是一致的。

LearnOpenGL给出实现，其中V和L对应本文文字

和

.

float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float k)
{
    float nom   = NdotV;
    float denom = NdotV * (1.0 - k) + k;
    return nom / denom;
}
float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float k)
{
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
    float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotV, k);
    float ggx2 = GeometrySchlickGGX(NdotL, k);
    return ggx1 * ggx2;
}

菲涅耳项

当我们从掠射角度看时，我们总是会看到更明显的反射，这是由物理学中的菲涅耳方程决定的。菲涅尔方程太复杂了，我们可以使用菲涅尔-施利克近似：

我们观察到的角度与法线方向的夹角越大，即越接近放牧方向，则

越小

，函数值越接近1，表示反射程度越高。

绝缘体的原始菲涅耳项函数如下图红线所示。上面的近似方法只提供了一种从

对 1 的插值方法。

LearnOpenGL给出了实现，里面的cosTheta是

.

vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
{
    return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
}

总结

终于我们得到了完整的 Cook-Torrance BRDF：

代入反射方程（渲染方程不考虑光源项）如下，注意

和

替换为

和

.

要记住的其他一些事项：