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  • 要证明ED+FG,=AC,?(图)

    特殊的四边形主要有平行四边形、长方形、菱形、正方形和梯形。在解决一些与四边形有关的问题时,往往需要添加辅助线。下面介绍如何添加辅助线。

    一、 平行四边形相关的辅助线练习

    平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有很多可以利用的性质,为了利用这些性质,往往需要添加辅助线来构造平行四边形。

    1. 使用一组平行且相等的对边构造一个平行四边形

    例 1 如图 1 所示,已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点,四边形 OCDE 是平行四边形。

    证明: OE 和 AD 相互平分。

    分析:

    因为四边形 OCDE 是平行四边形,所以 OC//ED,OC=DE,且从 O 是 AC 的中点,AO//ED,AO=ED,则四边形 AODE 是平行四边形,问题得证。

    证明:连接AE和OD,因为它是四边形,OCDE是平行四边形,

    所以OC//DE,OC=DE,因为0是AC的中点,

    所以 A0//ED, AO=ED,

    所以四边形 AODE 是一个平行四边形,所以 AD 和 OE 相互平分。

    说明:当已知条件涉及平行度,而要证明的结论与平行四边形的性质有关时有关平行四边形性质的题目,可以尝试添加辅助线来构造平行四边形。

    2. 使用两组平行的对边构造平行四边形

    例子2、 如图2,在△ABC中,E和F是AB上的两个点,AE=BF,ED//AC,FG//AC和BC分别是D和G。证明:ED+FG =AC。

    解析:证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以通过E点,使EH//CD与AC交于H,得到一个平行四边形,ED=HC,再根据同余三角形,证明FG=AH。

    证明:过点E为EH//BC,在H处与AC相交。因为ED//AC,四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,而FG//AC,EH//BC,所以∠AEH =∠B,∠A=∠BFG,AE=BF,所以△AEH≌△FBG,

    所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC。

    解释:当图中一组对边平行时,可以通过做平行线构造另一组对边得到平行四边形来解决问题。

    3. 使用相互平分的对角线构造平行四边形

    例3 如图3所示,已知AD是△ABC的中线,BE在E处与AC相交,在F处与AD相交,AE=EF。证明BF=AC。

    解析:为了证明BF=AC,一种方法是把BF和AC变换成同一个三角形,用等边到等角;另一种方法是通过等位代换找到BF和AC相等的相段。求相等线段的方法一般是构造一个平行四边形。

    证明:将AD扩展到G,令DG=AD,连接BG,CG,

    由于BD=CD,四边形ABGC是平行四边形,

    所以AC=BG,

    AC//BG,所以∠1=∠4,因为AE=EF,

    所以∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠4,

    所以BF=BG=AC。

    图 3 图 4

    说明:在本题中,平行四边形是用对角线相互平分构成的。事实上,平移法是用来构造平行四边形的。当中点或中线已知时,应考虑这种方法。

    二、钻石相关辅助线的练习

    菱形相关辅助线的实践主要是连接菱形的对角线,借助菱形的确定定理或性质定理解决问题。

    例4 如图5所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线与BC交于D点,E为AB上的一点,AE=AC,EF//BC与AD交于点F,证明:四边形 CDEF 是菱形。

    解析:证明四边形CDEF是菱形,根据已知条件,这道题有多种判断方法,一种是证明四边相等的四边形是菱形,另一种是证明对角线互相垂直的四边形是菱形。

    根据AD是∠BAC的平分线,AE=AC,我们可以通过连接CE构造一个等腰三角形,并通过三线的统一证明AD垂直于CE。找到 AD bisect CE。

    证明:连接CE与AD交于O点,由AC=AE,△ACE为等腰三角形,

    因为AO平分∠CAE,所以AO⊥CE,OC=OE,因为EF//CD,所以∠1=∠2,

    又因为∠EOF=∠COD,所以△DOC可以看成是△FOE绕O点的旋转,所以OF=OD,所以CE和DF互相垂直平分。所以四边形 CDEF 是一个菱形。

    例如5、如图6所示,四边形ABCD是菱形,E是AB边上的不动点,F是AC上的动点,证明EF+BF的最小值等于长度德。

    解析:为了证明EF+BF的最小值就是DE的长度,可以将菱形的对角线BD连接起来,将菱形的对角线相互垂直平分,得到DF=BF有关平行四边形性质的题目,再结合三角形两条边之和大于第三条边才能解决问题。

    证明:链接BD,DF。

    因为 AC 和 BD 是菱形的对角线,所以 AC 垂直于 BD 并且平分 BD。

    所以BF=DF,所以EF+BF=EF+DF≥DE,

    当且仅当 F 移动到 DE 和 AC 的交点 G 时,上式成立,所以 EF+BF 的最小值正好等于 DE 的长度。

    说明:菱形是一种特殊的平行四边形,菱形相关的证明题或计算题的辅助线并不多。几种常见的辅助线是:

    (1)制作菱形的高度;(2)连接菱形的对角线。

    三、 有带矩形的辅助线

    与矩形有关的问题通常有两种类型:

    (1)计算题,一般通过做辅助线构造一个直角三角形,借助勾股定理解题;

    (2)证明或探索题,一般利用对角线相等的性质连接矩形的对角线来解题。关于矩形的试题辅助线的做法较少。

    例如6、如图7所示,已知矩形ABCD中的一个点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长度。

    分析:有必要利用已知条件,因为矩形 ABCD 可以通过 P 分别作两条对边平行的线,构造直角三角形,借助勾股定理求解问题。

    解:通过点P在对边画两条平行线EF和GH,AB在E,CD在F,BC在H,AD在G。

    因为四边形 ABCD 是长方形,

    所以PF2=CH2=PC2-PH2,

    DF2=AE2=AP2-EP2,

    PH2+PE2=BP2,

    所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2

    =PC2+AP2-PB2=52+32-42=18,

    所以 PD=3

    说明:本题主要利用矩形的四个角为直角,通过做平行线构造四个小矩形,然后根据对角线得到一个直角三角形,利用勾股定理求PD与PA、PB 和 PC。,然后求PD的长度。

    四、方块相关辅助线的实践

    正方形是完美的几何图形。它既是轴对称的又是中心对称的。关于正方形有很多问题。有时需要使用辅助线来解决平方问题。方形对角线是解决方形问题的常用辅助工具。金属丝。

    例如7、如图8所示,将正方形ABCD的顶点B传递为BE//AC,AE=AC,CF//AE。证明:∠BCF=∠AEB。

    解析:从BE//AC,CF//AE,AE=AC可以看出,四边形AEFC是一个菱形。设H中的AH⊥BE。根据正方形的性质,我们可以知道四边形AHBO是正方形。从 AH=OB=AC,

    可以计算出∠E=∠ACF=30°,∠BCF=15°。

    证明:在O处连接BD和交换AC,在H处做AH⊥BE和交换BE。

    在正方形ABCD中,AC⊥BD,AO​​=BO,

    和 BE//AC, AH⊥BE, 所以 BO⊥AC,

    所以四边形AOBH是一个正方形,所以AH=AO=AC,

    因为AE=AC,所以∠AEH=30°,

    因为 BE//AC、AE//CF、

    所以ACFE是菱形,所以∠AEF=∠ACF=30°,

    由于AC是正方形的对角线,所以∠ACB=45°,

    所以∠BCF=15°,

    所以∠BCF=∠AEB。

    说明:这个问题是一个综合问题,既涉及正方形的性质,也涉及菱形的性质。通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO,进一步得到菱形,借助菱形的性质求解问题。

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