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  • 学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式,数学功底较差的同学听到

    学习傅里叶变换需要大量的数学公式,数学能力较差的学生听到傅里叶变换会头疼。事实上,很多数学能力较好的数字信号处理专业的学生不一定能理解傅里叶变换的真正含义,也无法学以致用。

    其实傅里叶变换的相关运算已经很成熟了,有现成的函数可以调用。对于大部分只需要用好傅里叶变换的同学来说,重要的不是死记硬背那些枯燥的公式,而是理解傅里叶变换的意义和意义。

    本文试图在不使用数学公式的情况下,用通俗易懂的语言解释傅里叶变换的意义、意义和方法。希望大家能更接近傅里叶变换,善用傅里叶变换。

    一、伟大的傅立叶,巨大的争议

    1807年门函数信号傅立叶变换 c语言,39岁的法国数学家傅里叶在法国科学院提交了一篇论文(此时还不能算发表,论文要到21年后才能发表),其中有在当时是一个非常有争议的说法。:“任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成”。

    这篇论文引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注。

    傅里叶变换你都了解了吗?

    58 岁的拉普拉斯同意傅立叶的观点。71 岁的拉格朗日(看起来像现在的院士,不需要退休)反对它,理由是“正弦曲线不能组合成有棱角的信号”。为了向朗朗日的声望低头,这篇论文直到朗朗日去世 15 年后才发表。

    后来的科学家证明傅里叶和拉格朗日都是对的。

    确实,有限数量的正弦曲线不能组合成角度信号,但是,无限数量的正弦曲线的组合可以在能量方面非常无限地逼近角度信号。

    二、傅里叶变换的定义

    后人扩展了傅里叶的论点:满足一定条件的函数可以表示为三角函数(正弦和/或余弦函数)或其积分的线性组合。如何获得这种线性组合?这需要傅立叶变换。

    有哪些特定条件?

    这是数学家研究的问题。对于大多数从事电参数测量的工程师来说,不需要关注这个问题,因为在电参数测量中遇到的周期信号都符合这个条件。

    这样,在电参数的测量和分析中,我们可以用更通俗的说法来描述傅里叶变换:

    任意周期信号可以分解为一个直流分量和一组具有不同幅度、频率和相位的正弦波。分解的方法是傅里叶变换。

    此外,这些正弦波的频率符合一个定律:它们是某个频率的整数倍。这个频率称为基频,其他频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的 N 倍,则称为 N 次谐波。直流分量的频率为零,是基波频率的零倍,也可以称为零次谐波。

    三、傅里叶变换的意义

    1、为什么是傅里叶变换?

    需要傅里叶变换来描述信号。只要能反映信号的特点,描述方法越简单越好。信号特征可以用特征值来量化。

    所谓特征值,是指能够定量描述波形的某种特征的数值。要完整描述一个波形,可能需要多个特征值。

    例如,一个正弦波可以用幅值和频率的两个特征值来完全描述;一个方波可以用幅度、频率和占空比三个特征值来完全描述(单个周期信号不考虑相位)。

    上述特征值可以通过用示波器观察实时波形得到,称为时域分析。事实上,很多人已经习惯了时域分析,以至于当他们想了解一个信号时门函数信号傅立叶变换 c语言,他们必须说:“让我看看波形!”

    但是,除了一些常见的规则信号外,很多时候,看到波形是看不懂的。先不说复杂,看下面的波形,能看出路径吗?

    傅里叶变换你都了解了吗?

    我们看到的只是一个幅度按一定规律变化的正弦波状波形。如何记录这个波形的信息?尤其是定量记录是困难的。

    其实上面的波形经过傅里叶变换后,就是一个50Hz的正弦波叠加在一个40Hz的正弦波上。两者的幅度不同。40Hz的幅度越大,波动幅度越大,波动的频率两者的差频为10Hz(三相异步电机叠频温升试验时的电流波形)。

    我们再看一个看似简单的波形:

    傅里叶变换你都了解了吗?

    这种波形有点像正弦波,但在变压器空载电流输入波形中比正弦波尖更常见,俗称“峰值波”。

    很难准确量化它与正弦波的区别。经过傅里叶变换,得到如下频谱(幅度谱):

    傅里叶变换你都了解了吗?

    主要包括3、5、7、9次谐波,一目了然。

    傅里叶变换是一种信号分析方法,它使我们能够对信号的组成和特性进行深入、定量的研究。它可以通过频谱(包括幅度谱、相位谱和功率谱)准确、定量地描述信号。

    这是傅里叶变换的主要目的。

    现在我们知道了傅里叶变换的目的,剩下的问题是:

    2、为什么傅里叶变换将信号分解为正弦波的组合而不是方波或三角波?

    事实上,如果张三能证明任何信号都可以分解成方波的组合,那么这种分解方法就可以称为张三变换;李斯可以证明任何信号都可以分解成三角波的组合,这种分解方法也可以称为李斯的Transform。

    傅里叶变换是一种信号分析方法。既然是分析方法,它的目的应该是让问题更简单,而不是更复杂。傅立叶选择了正弦波,而不是方波或其他波形,这正是它的伟大之处!

    正弦波具有其他波形(恒定直流波形除外)所不具备的特性:正弦波输入到任何线性系统,输出仍然是正弦波,只是幅度和相位发生变化,即:输入到线性系统的正弦波 系统不会产生新的频率分量(非线性系统如变频器会产生新的频率分量,称为谐波)。将单位幅值的不同频率的正弦波输入一个线性系统,记录输出正弦波的幅值与频率的关系,进而得到系统的幅频特性,记录下相位与频率的关系输出正弦波,则得到系统的相频特性。

    线性系统是自动控制研究的主要对象。线性系统有一个特点。多个正弦波叠加输入一个系统后,输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。

    也就是说,只要我们研究正弦波的输入输出关系,就可以知道系统对任何输入信号的响应。

    这就是傅里叶变换的主要含义。

    四、如何求傅里叶变换?

    文章开头提到,有成熟的函数专门调用傅里叶变换。本文只介绍如何理解傅里叶变换的思想。如果掌握了这个思路,就不需要背公式,也不需要调用任何函数,自己写一个简单的程序就可以了。即使你不会编程,只要你学过三角函数,你至少可以理解傅里叶变换的过程。

    傅里叶的伟大不在于如何进行傅里叶变换,而在于“任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成”的伟大断言。

    知道了这篇论文,只要知道正弦函数的基本特征,变换并不难,不用背公式,也可以实现傅里叶变换!

    正弦函数具有称为正交性的特征。所谓正交性是指任意两个不同频率的正弦波的乘积,两者在公共周期内的积分为零。

    这是一个非常有用的特性,我们可以利用这个特性设计一个检测器如下(简称检测器A):

    检测器 A 由乘法器和积分器组成。乘法器的一个输入是已知频率f的单位幅度正弦波(以下简称标准正弦信号f),另一个输入是待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。

    傅里叶变换你都了解了吗?

    待变换的信号可以包含频率为f的分量(以下简称f分量),也可以不包含f分量,简而言之,可以包含各种频率分量。总之,要转换的信号是未知的,可能很复杂!

    没关系,我们先看看要变换的信号是否包含f分量。

    因为其他频率分量的乘积与标准正弦信号f的积分都为零,探测器A可以假装它们不存在!在检测器 A 之后,输出只是一个与 f 分量相关的量,它等于要转换的信号中的量。f 分量与标准正弦信号 f 的乘积的积分。

    简单的结论是:

    如果输出不等于0,说明输入信号中含有f分量!

    这是输出 f 分量吗?

    答:不一定!

    正弦波还具有以下特性:

    对于同频率的正弦波,当相位差为90°(正交)时,一个周期内积的积分值为零;当相位相同时,积分值达到最大值,等于两者有效值的乘积,当相位相反时,积分值达到最小值,等于取反两者的有效值的乘积。

    我们知道标准正弦信号 f 的初始相位为零,但是,我们不知道 f 分量的初始相位!如果 f 分量的相位与标准正弦信号 f 正好相差 90°(或 270°),则检测器 A 的输出也等于 0!为此,我们设计了另一个检测器B:

    检测器 B 和检测器 A 的区别在于,检测器 B 将滤波器 A 中的标准正弦信号 f 替换为标准余弦信号 f(与标准正弦信号 A 异相 90°)。如果待变换的信号包含f分量,则检测器A和检测器B的输出中至少有一个不等于0。

    傅里叶变换你都了解了吗?

    利用三角函数的基本知识,可以证明无论f分量的初始相位如何,探测器A和探测器B的输出信号幅度的平方和的根等于f 分量;幅值之比等于 f 分量初始相位的正切,依此类推…… 可以求出 f 分量的相位。

    然后我们将标准正弦信号 f 和标准余弦信号 f 的频率替换为我们关心的任意频率,就可以得到输入信号的各种频率分量。如果知道输入信号的频率,取这个频率为基频f0,用f0、2f0、3f0代替标准正弦信号f和标准余弦信号f的频率反过来,可以得到输入信号的频率。基波、2 次谐波和 3 次谐波。

    这就是傅里叶变换。什么?没有积分?

    没关系。事实上,在谐波检测仪、电能质量分析仪等各种电参数测量仪器中,现在都采用了基于交流采样的离散傅里叶变换。在离散信号处理中,积累就是积分!

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