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  • 【摘要】教师资格证考试:近似和估算教学

    张琴琼

    【摘要】与表示一个精确数的精确数不同,近似数可以表示一个区间内的所有数。与精算需要得到准确结果不同,估计包括对结果的估计和区间估计,更注重范围的确定,范围的确定需要考虑具体情况。教授近似和估计有两个关键。一是从精确的数字扩展到代表范围的区间,二是根据实际情况确定范围。在教学中,要创造一个合适的情境,让学生意识到把握范围的重要性;估计的教学,既要培养估计的意识,又要传授估计的方法。

    【关键词】近似;估计;范围;间隔

    有这样一个笑话,恐龙博物馆的解说员指着恐龙化石告诉游客,恐龙生活在2亿年前。当有游客问为什么是2亿15年时,解说员自信地说:“我来这里工作的时候,被告知这只恐龙生活在2亿年前,我已经在这里工作了15年!” HERE 2 亿显然是一个大概的数字,叙述者把它当成一个精确的数字加上 15,这很讽刺。许多人在小学就学习如何将一个数字四舍五入,但不清楚四舍五入的含义和原因。所以没有估计的概念。 [1] 事实上,一些类似的问题对于数学老师来说并不是那么容易回答的。例如,“有多少个小数点后两位四舍五入到 3.8?”这个问题看起来很简单,但可能会令人困惑。答案是 10 还是 9? 3.75、3.76、3.77、3.78、3.7 9、3.81、3.82、3.83、3.84 当然这9个数字是都没有问题,问题出在3.80,众说纷纭。一种观点是四舍五入是近似相等,3.80等于3.8,当然不能算,准确值也不是近似值;另一种观点认为,虽然3.80和3.8在数值上是相等的,但是它们的计数单位不同,所以它们不是同一个数,应该计数。

    那么,有 10 位或 9 位小数可以四舍五入为 3.8 吗? 3.8 是 3.80 的近似值吗?我们应该理清与此相关的数学概念,然后再进一步思考教学。

    一、“确切数字”和“近似数字”

    在计数和计算的过程中,有时我们可以得到与实际数字完全一致的数字。这些数字称为准确数字。例如,一个学校有15个数学老师,6×1.2=7.2等,但在生产、生活和计算中得到的一些数字往往只能接近精确数字,这被称为近似数。比如“一个城市有850万人口”,850万就是一个大概的数字。因为在统计一个城市的人口时,由于居民的迁入、迁出、出生和死亡,人口数量随时发生变化,很难得到准确的人口数量。此外,还有一种情况无法得到准确的值,比如pi。由于这是一个无理数,因此无法知道确切的数字是多少,所以通常使用近似数3.14。可以看出,确切数字和近似数字的主要区别在于是否与实际情况完全一致。 [2] 小于精确数的近似数称为不足近似数,大于精确数的近似数称为过量近似数。

    在选择近似数的时候,有以下三种不同的方法:(1)Tail-off方法,这种方法得到的近似数不足。(2)Further method,这种方法得到的方法是一种超出近似数。(3)四舍五入的方法可能会得到一个不足的近似数或一个过量的近似数。在截断近似数的具体问题中,除某些情况外,需要根据具体情况使用tail reduction . 除了取整法或取整法外,一般都用取整法,因为取整法得到的近似数和精确数之间的误差会更小。 [3] 取整的定义是“对一个自然数n到十位的意思是将n替换为所有10的倍数中最接近的n倍数。如果有两个最接近n的10倍数,我们同意选择较大的一个”。 [4] 对于小数四舍五入,可以给出类似的定义。

    从数轴上表示数字的角度来看,精确的数字代表一个精确的点,而近似的数字代表一个区间的范围。如果将3.8视为一个精确数,则表示3.8的某一点(如图1);若将3.8视为一个近似数,则表示以3.8为中心的范围(如2)所示,即3.75到3.@之间的左闭右闭右>85).开区间,即[3.75,3.85),如果限定为小数点后两位,即该区间内所有小数点后两位,则3.@ >80 肯定在这个范围内。

    3.80≈3.8 这种表示还是很难接受的。其实,对于3.80≈3.8,不应该简单地判断对错,而是应该在哪个层面进行讨论。从精确数字的角度,学生必须理解和掌握3.80=3.8,因为这就是小数的意义和本质。但换个角度看,当3.8作为近似数时,它代表一个范围,而这个范围必须包含数字3.80。

    再看一个例子,有人认为因为200,000=200,000,所以200,000并不是200,000的近似数,200,000≈200,000当然是错误的。让我们想象一下这样的情况。如果小明买车,他的心理价位是20万元。当然,这里的心理价位并不是一个确切的数字,而是一个大概的数字。也就是说,小明其实是想买一辆价值20万元左右的车。那么,如果有一辆标价只有20万元的车,这车在小明的心理价位之内吗?按照20万不能约等于20万的说法,这台20万的车是不是不在20万的心理价位之内?这显然是不合理的。

    当然,与其让学生判断3.80≈3.8还是200,000≈200,000是否正确,更重要的是让他们体验相似的想法,这与人们的想法息息相关。生活。在现实生活中,连续量虽然以精确数的形式表示,但实际上表示的是一定可接受范围内的近似数。例如,它也是定时的。如果预约专车,可以预约的时间一般是10分钟一班或者5分钟一班。因为在这种情况下,这样一个范围的精度是完全足够的;如果是起床的闹钟,一般是1分钟一次,不需要精确到多少秒;如果是长跑,计时一般需要精确到秒;如果是短跑比赛,需要精确到百分之一甚至千分之一秒。这些时序虽然以精确数字的形式表示,但实际上都是一定精确范围内的近似数字。

    再比如,在人工智能时代,机器识别是一个重要的研究领域。如果机器要能够像人类一样识别,那么近似思考和范围确定至关重要。例如,对于面部或指纹识别,您需要确定一个合适的范围。如果范围太小,机器太灵敏,可能你的脸或指纹有细微的变化,机器无法识别。而如果范围太大,当然机器太迟钝了,可能分不清自己和别人。

    二、实际与估计

    讲完了精度和近似的概念,我们再来看看精算和估计,这两者都是计算能力的重要内容,“精算有利于学生抽象能力的发展,估计有利于学生的抽象能力的发展。学生的直觉能力。显然,抽象能力和直觉能力是人们日常生活和生产实践中不可缺少的两种能力,这两种能力是数学素养的基础。因此,小学数学的教学内容不应该只是精算,而是也有估计。”[5] 需要注意的是,估计不是精算四舍五入。小学数学课本对估计没有明确的意义,主要是解决一些实际问题,需要结合具体情况,选择合适的单位对数据进行适当的逼近处理,即放大或缩小得到计算结果的近似值。 估计是对日常生活、工作和生产中不能或不需要准确测量和计算的一些量进行近似或粗略估计的方法。 [6]

    如果对精确数和近似数的理解是从一个精确数扩展到一个区间范围,那么从精算到估计,更关注的是如何确定范围,而确定范围需要考虑具体情况。因此,估计往往涉及到在哪个数字上计算,在估计之前需要为实际背景选择一个合理的维度。比如在考虑距离的测量时,如果要测量北京到纽约的距离,那么用10000公里比较合适;如果要测量杭州到北京的距离,那么用100公里比较合适;如果要测量教室的大小,那么用米比较合适;如果要测量桌子的尺寸,那么厘米比较合适。 [7]

    估计的第一个内容是估计计算结果。计算的估算没有绝对的对错,但由于估算方法的不同,误差的大小会有所不同。学生评估有多种方法。如果估计243+379,同学们至少给出了六种不同的方法:(1)200+300=500, 43+79>100,所以比600大一点;(2)200+400 =600,所以约600;(3)243+379相当于两个300之和,约600;(4)243

    除估计值外,估计值还包括区间估计值,区间估计值包括上限估计值和下限估计值。上估计是指估计结果小于或等于给定值;较低的估计意味着估计的结果大于或等于给定的值。 [9] 比如《义务教育数学课程标准(2011年版)》中有这样一个问题:“李阿姨去商店买东西,带了100元,她买了两袋面条,每袋3 0.4元,又买了一块牛肉,花了19.4元,她还想买一条鱼,25.大的一个2元,1< @5.小一个一个8元近似数的有效数字中单位里的0算不算有效数字?,请李阿姨帮忙估算一下,她带的钱够买小鱼吗?能买大鱼吗?”[10]这种情况下,有两种买的情况小鱼和大鱼,都需要估计。方法,但估计方法不一样。买小鱼的第一个问题是估计剩余金额的下限,购物金额的金额需要适当放大,而买大鱼的第二个问题是估计剩余金额的上限,购物金额的金额需要适当减少。估计数值区间的难点在于,在估计之前,学生不知道是估计上限还是下限。因此,同学们在估算时需要不断尝试,积累经验。

    三、两个教学建议

    首先,在近似与估计的教学中,要创造一个合适的现实情境。近似思想的要点是从一个精确的点扩展到代表一个范围的区间。因此,首先要创造一个合适的情境,让学生意识到,在某些场景下,不可能或没有必要知道确切的数值,有时更重要的是对范围有一个粗略的把握。而不是确定确切的数字,例如制定旅行计划的预算等等。其次,为了让学生通过不同的情况来感受范围大小的确定,需要考虑实际情况,比如距离的估计。另外,与其直接给出200,000≈200,000是否正确之类的判断问题,不如给出实际背景,然后指出心理价位是200,000元,给出可接受的范围是多少,然后问什么数字在心理代价之内,这样的教导才有意义。

    估算的要求也与精算师不同。没有简单的对与错。估计的结果也是开放的,不是唯一的。对估计质量的判断必须基于实际情况。有些估计问题在没有上下文的情况下很难讨论,比如 287×305 应该如何估计?它应该计算300×300吗?是否可以计算 290×310 或 290×300?似乎找不到统一的答案。

    第二,在教学中重视估算,不仅要培养估算意识,还要传授估算方法。 [11] 如今,复杂的计算可以通过计算机或计算器进行,同时估计在日常生活和工作中的作用也越来越突出。估计能力是现代社会生活的需要,是衡量人们计算能力的重要标准。重视和加强估价已成为世界性趋势。 [12]

    《义务教育数学课程标准(2011年版)》也明确提出要培养估计能力。第一学期强调“结合具体情况进行估算并解释估算过程的能力”。第二学期强调“在解决具体问题的过程中,可以选择合适的估算方法,养成估算的习惯”。由此可见,在估算教学中,首先要培养估算意识。学生可以通过不同的情境进行充分的交流,让学生比较估算和精算的区别,了解什么时候需要估算,什么时候需要估算。准确计算;其次,要掌握估算的方法。在教学中,要充分尊重学生的生活经验和数学经验,让学生在解决问题的过程中不断调整估计的方法,逐渐意识到什么时候该高估,什么时候该低估,并逐渐掌握估算方法。

    参考资料:

    [1] [4] 吴红喜,作者;赵杰,林开良,译。数学家讲解小学数学[M].北京:北京大学出版社,2016:115-116.

    [2][3]金成良.小学数学难点问题研究[M].南京:江苏教育出版社,2010:12-14.

    [5][7]施宁忠.基本概念与算法——小学数学教学中的核心问题[M].北京:高等教育出版社,2013:32-33.

    p>

    [6] [9] 吴正贤,刘金玲,刘克臣。小学数学教学基本概念解读[M].北京;教育科学出版社,2014:207-208.

    [8] 本友林。评价教学的关注与思考[J].江苏教育(小学版)近似数的有效数字中单位里的0算不算有效数字?,2002,(8):25-26.

    [10] [13] 教育部。全日制义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2011:87-88;10-11.

    [11] 姜立神。估算教学要注意什么——听吴正贤老师的“估算”课[J].小学教学(数学版),2007,(12):22-24.

    [12] 徐斌。把握基本矛盾走向有效教学——“数的运算”备课解读与难点分析[J].人民教育,2006,(13-14):27-33.

    (温州大学 325035)

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