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  • 如何使用一系列公式推导得到一个完美桥梁?(几种)

    以上都是假设和推理。剥茧后,最关键的部分是:如何用单位I表示90°逆时针旋转,并给出可能的映射规则。X轴平移表示扩展,y轴平移表示旋转,以确保组的特征?(几个操作可以组合成其他操作,其学名为:维护组结构)

    如何表示旋转?看起来一切都一样。现在,我们陷入了死胡同。我们不妨从另一个角度来考虑。什么是旋转

    旋转是沿圆弧移动的过程(具有中心和转角)

    如果您非常熟悉泰勒公式,可以通过一系列公式推导出一个完美的桥:[指数函数],如所示

    如果基数a=e,则可以通过泰勒展开完成非常漂亮的变形,如下所示:

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    设置x=iθ引入(1)类型(这里θ是一个未知数,即自变量),整理项,移动,结合cos(x)和sin(x)的泰勒展开,以及虚单位i的定义=− 1 × − 1,派生如下:

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    这个公式有什么用?可视化后,如下图所示

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    假设纵坐标有一个虚单位I(复平面),那么sin(θ)是垂直坐标(虚单位I),cos(θ)是横坐标,可以发现:e^(Iθ)表示一个圆心在原点,半径为1的单位圆(图中为α,由于映射软件的限制,它不能替换θ,但不受影响)

    e^(iθ)这个公式相当于一个旋转,θθ是旋转角度(统一单位,弧度系统,即将°转换为实数)θ=2π是360°,这是单位圆

    我们已经优雅地找到了这座桥,然后我们将仔细研究它的含义

    指数函数

    指数函数有一个非常重要的特性:加法和乘法,即

    换句话说,通过指数函数,可以使用平移变换来描述缩放变换。这是什么意思?参考下图

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    上数字轴表示平移变换-1(左一个单位)和2(右两个单位)(加法)。下数轴将这两个数作为输入,并将其替换为指数函数。对于函数,输出值是两个缩放变换(乘法)。一个是收缩到原始时间,另一个是拉伸到原始时间

    请注意,所谓的变量意味着可以建立加法运算,这意味着左、右先按一个单位转换,然后按一个单位转换。组合的左侧和右侧由一个单位向右平移(-1+2=1,群论保持结构特征),乘法运算也必须满足此特征

    复杂平面

    到目前为止,构造了复杂平面,并将假想单元II添加到垂直轴上。我们有缩放和旋转。最重要的是,通过这两个操作,我们还可以保持组的特征(使用乘法)

    如下图所示,在复平面上,以指数函数为桥,实轴的水平平移对应展开,虚轴的垂直平移对应旋转

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    水平坐标红线,水平平移映射到望远镜操作的可视化

    纵坐标的虚单位,垂直平移映射到旋转操作的可视化,正逆时针旋转

    现在使用的桥是一个基数为2的指数函数。我们知道e^(πI)代表一个半圆。我们希望将基数改为eu t 的傅里叶变换推导,这样更便于表达圆的概念

    对于每个纵向位移单位,圆周上旋转的圆弧长度为1。参考下面的动力学图,e^(πI)只表示逆时针旋转180°,它所处的位置是(-1,k6),这是欧拉公式,或欧拉公式的几何可视化

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    摘要

    第一部分到底做了什么?事实上,我想建立一个想法(或常识)

    复平面中的E^x,或x=ai(a是一个常数,是弧度系统的周长),表示变换:旋转

    如果你以前学习过傅立叶变换,你就会明白为什么你需要花这么多时间在这上面,因为e^(Iπ)是公式中非常重要的一部分

    傅里叶变换

    正式进入傅里叶变换部分。按照老规矩,首先整理好基本信息

    什么是傅里叶变换

    首先,让我们弄清楚我们理解了什么

    傅里叶变换(如果不合格,则该词对应于连续傅里叶变换)

    傅里叶级数

    傅里叶变换还有许多其他内容:离散时间傅里叶变换、离散傅里叶变换、逆傅里叶变换、快速傅里叶变换、进一步的拉普拉斯变换、小波变换、z变换等

    [公式表示法]

    傅里叶变换用于将时域映射到频域。公式如下:

    大多数情况下,这里的公式将写成f(W)或f(f)来表示角速度或频率。当然,以下公式的尺寸需要相应修改;后一个自变量x主要写为t表示时间。当然,他们的意思都一样

    [联想连锁店]

    因为这是为了理解和记忆,我们仍然需要定义一个关联链:

    傅里叶变换过程➜ 分解声音

    它很抽象,因为很难将任何东西与分词法联系起来(傅立叶变换?嗯,这很难)。那是唯一的办法

    接下来是本质部分:3b1b傅里叶变换解释的核心内容!注释完成后,将给出一个完整的关联链,结合直观的理解。当然,目的是[让你永远不会忘记]。点

    [参见]傅里叶变换

    [声音的表示]

    我们如何录制声音?如果您测量扬声器附近的气压,它将是一幅随时间以正弦函数振荡的图像。标准音调A(下图中的黄色)的频率为440hz,表示每秒振动440次。较低的D(下图中的紫色)为294hz,速度较慢。如果这两个音调同时发出,压力曲线如何确定?下图实际上是所有时间点振幅的总和

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    所以,如果给你一条随时间变化的随机气压曲线,你会如何找到这些原始的组成音符?这是我们的目的。参考下面的动态图u t 的傅里叶变换推导,感觉有点像将一盘混合的原材料划分为不同的颜色。这不是很容易吗

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    我们需要一步一步地做

    [可视化方法]

    首先,假设我们有一个每秒3拍的声音信号(440hz太快),它的图像如下(强度是强度,可以等同于气压),我们只关注前几秒(即图像中绘制的部分)

    1.圆圈记录法:同一事物的不同角度

    永远不要眨眼!下面是最关键的步骤,它是[参见]傅立叶变换的核心部分,如下图所示

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    从第一个周期/秒(请注意,此处的速度指的是单位圆周围白色箭头的滑动速度)到周期/秒,然后到最后3个周期/秒,这与3拍/秒的原始信号相同。此时,将出现非常稳定的图像。我们可以理解它是同步的。此周期图像记录原始信号的振幅变化,并且每个周期相同(周期性)

    事实上,我们只是绕着一个单位圆绕一个水平轴,然后用另一个测速尺(白色箭头)来画图,以便从另一个角度(维度)看到我们的信号

    质心记录法:新尺寸的特征提取

    虽然这张新照片看起来不错,但我想我看不到任何东西。不一定。我们直观地发现,当白箭头记录的速度处于某个特定值时,绘制的图形非常稳定和清晰。那么如何表达这个特性呢

    从两个角度思考

    (1)自变量是什么?(输入特性)

    输入为可变转速。由于它是可变的,因此可以将其视为自变量,即F(X)中的X

    (2)输出的特点是什么(新的圆图)?(输出特性)

    观察到,当图像是混沌的(不规则和混沌的)时,图像的原点基本对称;当它稳定时,实际上是“顶重”。当然,描述“顶重”的最佳方法是使用[重心](它描述对象的空间分布特征)。以下动态图直观地显示了质心特征描述图像特征的能力(红点是质心)

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    考虑到质心实际上是一个二维坐标,为了简单直观,这里使用质心的横坐标来表示字符

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