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  • 【每日一题】平面几何1和公法2描述的设置

    领悟尺子画法的魅力

    平面几何题分为证明题、计算题和绘图题三种。绘图问题需要尺子和圆规来绘制。所谓尺圆规画,顾名思义,就是在一个平面上只用尺子和圆规画出满足给定条件的图形。本期我们将介绍用尺子和规则绘制的知识,并用动画展示绘制的步骤,让您领略几何绘图的魅力。

    平面几何研究的图形都是由直线(或直线的一部分,如射线、线段)和圆(如圆弧)组成。因此,使用直尺和圆规作为平面几何绘图的基础工具是合理的。我们假设尺子是直的,无限长,上面没有刻度(如果有刻度就没有刻度,因为刻度不能作为绘图的依据)。罗盘的两条“腿”在需要的时候可以无限长(张长,变长),可以自由开合,让两个“脚趾”之间的距离尽可能的长,也就是比如说,我们可以制作任意大小的圆圈。

    规定下面公法1和公法2描述的两种绘图可以用尺子和圆规完成。

    公法 1:可以通过两个已知点画一条直线。当然,它包括以这两个点为端点的线段,也包括以一个点为顶点并经过另一点的射线(相当于线段的延长线)。

    公法 1 看起来很自然,因为在两点之间定义一条直线是我们的常识。比如窗帘杆的两端如果固定,就很稳,不会脱落。

    即使尺子不够长,我们也可以通过制作延长线来制作所需长度的线段。画的时候有时候发现尺子不够长,所以先把已知的两个点做了线段,同时做了一个小的延长线,在延长线上取一点,移动沿着线段朝向该点的标尺。移动点,这样您就可以将延长线延长一点。这使得可以一点一点地制作任意长度的直线。这说明公法1的设置是符合我们实际绘制的。

    那你可能会问:”公法1说可以通过两个已知点画一条直线,没有问题,但是是否允许通过一个已知点画一条直线?”答案是允许的因为通过一个点可以任意画一条直线,相当于在绘图平面上取任意一点,然后通过这两个点画一条直线。这基于以下假设:您可以在一条直线(或射线、线段)上取任意点,您可以在圆(或圆弧)上取任意点,当然您也可以在平面上取任意点不在图上的任何点。我们在绘图时默认使用此假设。

    在绘图标题中会不会遇到“通过一点画任意直线”的情况?答案是:是的。比如我们想把一条线段分成三个等长的部分,那么,有一种方法可以使一条与线段不重合的射线通过线段的某个端点,然后截取三个等长的部分射线上的线段从射线的顶点开始按顺序排列。在最后一个截点和线段的另一个端点之间画一条直线。最后,分别通过另外两个截点画一条与上述直线平行的直线,并与原线段相交于两点,则这两点就是原线段的两个三等分点。

    公法2:可以以已知点为圆心,以一定距离为半径画圆。

    因为指南针的两个脚趾之间的距离可以随意调整,所以指南针非常有用。比如我们要做一个半径等于定长的圆,我们只需要把罗盘的两个脚趾对准定长线段的两个端点,这样半径就固定了。这说明罗盘具有测量一定长度的功能。我们只能用指南针来测量长度,不能用刻度尺来测量长度。指南针的功能不仅是用来测量一个固定的长度,它还可以用来确定我们需要的点。比如我们要对一个角做一个平分线,方法是以角的顶点为圆心,取任意长度为半径。构造一个在两个点处与角的两侧相交的圆。然后以这两点为圆心,以等长(两点之间距离的一半以上)为半径做一个圆,使两圆在拐角内有一个交点。那么,以角的顶点为顶点,通过这个交点的射线就是角平分线。在这个绘图过程中,指南针被多次使用来制作一个圆圈。例如,第一次做圆时,在一个角的边缘截取两个点。这个圆的半径是任意的,没有限制;第二次做圆,只要半径大于边缘的半径,上面切出的两点之间距离的一半就足够了。

    下面的动画使用软件模拟了直线(线段、射线)的普通定律1和圆的普通定律2(圆)的过程。让我们感受一下吧!

    有了这两条公法,我们可以制作很多很多我们想要的平面图形。下面还有一个假设。有人将其视为第三公法,也有人不将其视为公法。公法 3 规定了以下权利。

    公法3:直线与直线,直线与圆,圆与圆,如果相交,则确定交点。

    这个公法也很自然,其实是我们画的时候默认的。因为线或圆一旦做出来,就是固定的,所以它们之间不可能有交集,但如果有交集,就必须确定它们的位置。因此,我们在作图的时候,可以把它们的交点当作已知点,那么就可以把这些已知点作为圆心,把这样的两点连成一条线段,就可以通过三个点不在同一条直线上。在交点处做一个三角形或一个圆,也可以用指南针截取两点之间的距离,等等。

    所以,一个绘图问题可以用尺子和尺子完成。有理论依据吗?例如,做一个直角三角形,它的斜边和直角边分别等于已知长度。我们可以从统治者那里得到它吗?就这个例子而言,我们知道斜边和直角边对应两个相等的直角三角形是全等的,也就是说斜边和直角边可以完全确定一个直角三角形。因此,本例所需的直角三角形可以用尺子和尺子画出来。也就是说,尺规构造的结论对应几何证明的结论。因此,可以说,如果我们非常擅长几何证明问题,那么我们应该没有几何绘图问题,并且很容易找到绘图的具体步骤。

    很多绘图题都比较复杂,可能需要十几个甚至几十个这三个公法组合在一起。那么,我们就顺理成章地拿一些比较基础的图表,不能再从三公法入手。例如,如果我们需要确定一条线段的中点,我们可以直接说“取线段AB的中点M”,而不是说“以线段AB的端点A和B做一个圆为圆心大于AB/2为半经度。一条直线经过两个圆的两个交点,该直线与AB的交点就是AB的中点。类似于“做线段的中点” ,比三大公法“大”,但不是很“大”,但可以感觉到是一个比较简单的绘图问题,可以用尺子和尺子来绘制,我们将它们归类为基本绘图方法。以后可以直接使用。下面列出一些供参考。

    (1)在直线上截取一段固定长度的线段。

    (2)做一条线段的垂直方形线。

    (3)通过直线外侧或直线上的一点画一条直线。

    (4)画一个给定角的平分线。

    (5)取一条线段的中点。

    (6)取一条线段的任意平分点(第三点,四分之一点,…在线段ab上任取三点构成三角形,n个相等点)。

    (7)在直线上取定长线段。

    (8)取一条已知线段为一边做一个角等于已知角。

    (9)通过线外一点与线平行。

    (10)已知三个边,两条边及其夹角已知,两个角及其边已知,两个角和一个角的对边已知,两条边和对边之一已知角度(可能有两种解),构造一个三角形。

    (11)构造一个直角三角形,其斜边和直角边分别等于固定长度。

    (12) 用边长做一个正方形或等边三角形。

    (13)做一个 30、45 或 60 度的角度。

    (14)做一个长宽分别等于定长的矩形。

    (15)做一个三角形的外接圆(使用物品(2)))

    (16)做一个三角形的内切圆(使用(4)item))

    (17)平分一条已知弧线(使用项目 (2))

    (18)以固定线段为直径做一个圆(使用项目(5)))

    (19)从圆上的一点做圆的切线(使用项目(3))

    (20)从圆外一点做圆的切线(使用项(18))

    还有一些与比例或面积相关的基本制图方法。它们不会在此处列出。

    基本结构 绘图方法可以分解为公法的组合,即使是简单的基本绘图方法加上公法也可以产生新的基本绘图方法。以下为文章示例(20).

    “(20)从圆外一点构造圆的切线。”

    您可能会觉得这种基本的构造方法似乎不基本。是的,所以我们有时会想到用直尺的边总是通过圆外的一个已知点,同时将直尺的边绕着靠近圆周的外点旋转在线段ab上任取三点构成三角形,直到它“接触”到圆周但这是错误的,不是尺子的绘图方法。我们需要用公法或者其他基本的绘图方法来确定切点,然后把切点和圆外已知点连接起来得到切线。

    步骤如下:

    第一步:连接外点和圆心,得到一条线段。 (公法1)

    第二步:取线段中点(基本画法(5)),以此中点为圆心,取线段一半长度为半径画A圆(公法2),圆在两点与已知圆相交(公法3)。

    (第2步可以用“基本构造法(18)用固定线段做直径做圆”代替)

    第三步:通过圆外的点和得到的两个点分别画一条直线(公共方法1),得到的两条直线就是需要的直线)绘制的切线。

    下面是一个绘图问题,我们来看看如何解决这个问题。

    画图问题:求一个三角形,使其中线一边的长度等于m,这一边高线的长度等于h,三角形另一边的长度为等于 c。

    让我们先看一下绘图步骤的动画,了解绘图问题的过程。然后,与下文中的具体步骤进行对比。

    绘图步骤:

    第一步:画一条直线(如水平线)。 (公法1)

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    第二步:在直线上取一点H,通过该点画一条垂直线(公共方法(2)),在直线上方的垂直线上截取一点A,使AH等于h(公法2和公法3).

    第三步:以A点为圆心,以c为半径做圆弧(普通法2),与直线相交于B点(还有一个交点),但起点从另一个交点,最终的三角形与这里制作的三角形全等,所以不考虑)。连接 AB(公法 1).

    第 4 步:连接 HB。

    第五步:以A点为圆心,以m为半径,创建一个圆弧(普通法2),与M点的直线相交。连接MH。

    第 6 步:将 BM 扩展到 C 点,使 CM=BM(普通法 1 和公法 2)。

    第 7 步:连接交流电。那么三角形 ABC 就是想要的三角形。

    解释:在c>m>h的情况下,会有第二种解法。此时得到的三角形是一个钝角三角形,垂直线在三角形的外面。请自行想象。

    前面说过,用尺子“碰”圆得到切线的方法不是尺子和尺子的画法,这让我想起了有第三个角的方法和这个差不多,而且不是尺子和尺子绘图。这是可以实现的。如下图,角AOB是要分成三等份的角,O点是圆心,半径是做圆的合适长度,A和B是两个交点圆和角的边缘。因此,OA=OB 是一个固定长度。准备一把尺子,在上面量出长度CD=OA(这一步不再是尺子和尺子)。令 D 点始终在 OA 的反向延长线上,让 C 点始终在 OA 的反向延长线上。在圆上,同时让尺子一直经过B点。最终会找到一个符合上述要求的尺子位置,那么角度ADB等于角度AOB的三分之一。这里没有证明,从图中可以看出。这种方法超出了经验法则。

    如图ab为圆0的直径点c在圆0上_如图,三角形abc中,点ep在边ab上_在线段ab上任取三点构成三角形

    有一个罗盘体现了这一绘图过程,称为 Hermes 罗盘。它不是通常的指南针,而是在一条腿的底部有两个爪子,如下图所示。要求三只脚的脚趾始终在同一直线上(首先要保证罗盘的各部件在同一平面内,其次要保证前叉与腿的关节S需要铰接,即可以在平面内转动)。分叉两端的距离CD等于上图中OA的长度。然后,我们将 Helmes 罗盘的 B 点末端“绑”在上图中的 B 点,那么这时候,我们只需要调整 Helmes 罗盘两腿之间的角度,使分叉的两个“脚趾”落在 AO 延长线上,另一个落在圆圈上。

    在线段ab上任取三点构成三角形_如图,三角形abc中,点ep在边ab上_如图ab为圆0的直径点c在圆0上

    在上图中,CD之间的距离似乎是固定的,不方便。您可以将 CSD 替换为普通指南针。

    如图ab为圆0的直径点c在圆0上_如图,三角形abc中,点ep在边ab上_在线段ab上任取三点构成三角形

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