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  • :股份2014年年度审计报告(修订版)

    令$f,g$是$[a,b]$上的[有界变差函数]有界变差函数,则$f+g$也是$[a,b]$上的有界变差函数

    证明:令 $P={x_0,cdots,x_n}$ 是 $[a,b]$ 的任意分区。由于 $f$ 是 $[a,b]$ 差分函数上的有界变量,所以

    $$sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|和

    $$sum_{i=0}^{n-1}|g(x_{i+1})-g(x_i)|其中 $M_1$ 和 $M_2$ 是固定常数。因此

    $$sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})+g(x_{i+1}))-(f(x_i)+g(x_i ))|=sum_{i=0}^{n-1}|(f(x_{i+1})-f(x_i))+(g(x_{i+1})-g(x_i) )|leq sum_{i=0}^{n-1}|f(x_{i+1}-f(x_i)|+sum_{i=0}^{n-1}|g(x_ {i+1}-g(x_i)|可以看出$f+g$是$[a,b]$上的有界变差函数

    假设 $f$ 和 $g$ 都是 $[a,b]$ 上的有界变异函数,那么 $f(x)g(x)$ 是有界 $[a,b]$ 变异函数。

    证明:我会先证明

    如果 $f$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数,则 $f^2$ 是 $[a,b]$ 上的有界变差函数

    证明:令 $P={x_0,cdots,x_n}$ 为 $[a,b]$ 的任意分区有界变差函数,则

    $$sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=sum_{i=0}^{n- 1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|$$

    根据数学分析_Tom M.Apostol_Theorem6.7,$f$ 是 $[a,b]$ 上的有界函数。因此 $forall xin [a,b]$ ,$|f(x)|leq K$,其中 $K$ 是给定的正实数。因此

    $$sum_{i=0}^{n-1}|f^2(x_{i+1})-f^2(x_i)|=sum_{i=0}^{n- 1}|f(x_{i+1})+f(x_i)||f(x_{i+1})-f(x_i)|leq sum_{i=0}^{n-1}( |f(x_{i+1})|+|f(x_i)|)|f(x_{i+1})-f(x_i)|leq sum_{i=0}^{n-1} 2K|f(x_{i+1}-f(x_i)|leq 2KM$$

    其中 $M$ 是给定的正实数。可以看出$f^2$是$[a,b]$上的一个有界变差函数

    因为$fg=frac{(f+g)^2-(f-g)^2}{4}$,而同一个闭区间上的两个有界变异函数之和仍然是有界差分函数,我们可以得到$fg$ 是一个有界变分函数。

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