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  • 变差函数的全变差与积分类似的特征。

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    有界变差函数的总变异具有许多类似于积分的特征。乍一看,这个定义似乎类似于分布函数。但是,如果仔细考察分布函数的特性,会发现分布函数是一个在(-∞, +∞) 上不超过1的单调递增非负右连续值。函数,显然,单调任意闭区间上的增函数是有界变差函数,所以分布函数是任意闭区间上的有界变差函数

    为什么要引入这个有点莫名其妙的有界变异函数?长话短说,Jordan 首次引入它来研究曲线的长度。如果你学过微积分,你应该知道,当一个函数连续可微时,你可以用黎曼积分来计算它的弧长。还记得弧长公式吗?只有闭区间上的连续可微函数曲线可以长吗?换句话说,如果一条曲线是一个函数的图,那么它长的充分必要条件是什么?这个条件正是有界变异函数。当然,如果有界变异函数只起到保证曲线可以长的作用,就没有那么吸引人了。另一个与有界变异函数相关的重要问题是牛顿-莱布尼茨公式成立的充分必要条件是什么?不难找到这样一个反例:即使一个函数几乎处处可导,它的导函数也不一定能恢复函数。也就是说,牛顿-莱布尼茨公式可能不成立,这就引出了另一种更特殊的函数:绝对连续函数。

    有界变差函数到绝对连续函数的过渡在逻辑上是自然的,没有任何困难,使用牛顿-莱布尼茨公式作为媒介就足够了。然而,大多数教科书并没有把有界变差函数的来龙去脉解释清楚,往往侧重于证明的细节。因此,有必要重点关注以下问题:

    1、为什么?出现有界变异函数?这个问题上面已经简单介绍过了。

    2、有界变差函数与分布函数有什么关系?事实上,有界变分函数真正棘手的部分是奇异部分,即几乎处处导数都等于 0 的函数。例如,(-∞, +∞) 上最大值为 1 的非负右连续阶跃函数是奇异分布函数。如果所有的分布函数都可以写成黎曼积分或勒布格积分的形式,或许概率论就不需要测度论了,但上帝总是爱取笑人有界变差函数,很多时候需要“把简单的问题复杂化”。一旦了解了有界变分函数的结构,分布函数的结构自然就清晰了。

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    3、有界变异函数的结构分解。分解包括两类,一类是Jordan分解,即任何有界变差函数都可以分解为两个单调递增函数的差值;另一种是Lebesgue分解,即任何有界变差函数都可以分解为与奇异函数不同的绝对连续函数。 Jordan分解定理难度不大有界变差函数,但Lebsgue分解的证明技术难度较大,可以结合直观分析。有界变差函数的Lebsgue分解是抽象测度Lebsgue分解定理的基础。很难理解抽象测度的Lebsgue分解定理的本质,也很难理解为什么要定义Lebsgue-Stiljes积分。

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