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  • 无穷大:无穷大是经不起不可靠的概念(1)_光明网(图)

    无穷大始终是一个不可靠的概念。即使是乔治·康托尔(George Cantor)提出的普遍接受的数学思想,也没有真正将无穷大放在严格的基础上。

    2000 多年来,数学家和大多数人一样,不知道用什么来解释无穷大。希腊和中世纪思想家提出的几个悖论使数学家相信无穷大经不起推敲。到 1780 年代,德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)翻开了超限数学(数学的一个分支)的书页,似乎解决了无穷大带来的所有问题。在他的著作中,康托尔证明了无限数的存在,它们出现在不同的尺度上,并且可以用来衡量无限集的范围。但他真的消除了对无穷大的数学处理的所有疑虑吗?大多数人认为他消除了它,但我将在本文中争辩说,他实际上加深了这种怀疑。

    数学家对无穷的战争始于公元前 5 世纪。当时,巴门尼德(古希腊哲学家,埃利亚学派的创始人——翻译家)的学生芝诺系统地提出了著名的“埃格雷斯(半神)与乌龟”悖论。问题是跑得快的半神(他)和爬得慢的乌龟(她)赛跑,他让她把起点放在他前面。在他赶上她之前,他必须跑到她的起点。但此时她已经跑了一段距离。现在半神人必须在他们之间跑出新的距离。但等他拉开距离后,她又继续前行了。以此类推,直到无穷大。埃尔吉尔似乎永远赶不上乌龟了。 Zenner 还争辩说,完成这条赛道是不可能的。要完成跑步,您必须到达中点,然后是四分之三,然后是八分之七,以此类推。 Zenner 得出的结论是,这种运动不仅是不可能的,而且我们最好不要考虑无穷大。

    同样警惕无穷大的数学家欧多修斯创造了所谓的“穷举法”,在具体的几何推导过程中避开了无穷大。大约 100 年后,阿基米德用这种方法找到了圆的确切面积。他是怎么做到的呢?他的部分过程是研究内接在圆 C 中的 n 等边多边形(称为 Pn)的面积公式。我在下图中说明的不是他的论点,而是他的论点的一个转折,因此该公式适用于圆本身 – 它恰好是一个具有无限多无穷小边的多边形。

    如图1所示,设圆的半径为r,对于每一个大于2的整数n,我们可以构造一个正多边形——一个内接于圆的n边多边形。这个n边多边形(Pn)可以分成n个等边三角形。 bn是每个三角形的底,hn是高,那么每个三角形的面积就是1/2 bnhn。所以整个面积是 n(1/2 bnhn) 或 1/2 nbnkn。但是 c 是一个具有无限多边的无穷小多边形。换句话说,当我们推广 Pn 的原始定义并让 n 为无穷大时,就会生成 c。此时nbn为c的周长,等于2πr(由π定义); hn是圆的半径,所以圆的面积是1/2(2πr),也就是πr2。

    5.1

    阿基米德的曲解具有一定的直观吸引力,但并不满足阿基米德。我们不能不加选择地应用无穷大,就好像它真的是某种异常大的整数一样。这里提到的部分是n越大,Pn越接近于c。但下面的说法也是正确的:n 越大,Pn 越接近一个有凹凸的圆,记为 c*。直观地说,关键在于 c 与其变形的对应物 c* 不同,这是多边形的极限,或者说多边形往往是圆形。

    此外,如果不将 c 视为“无限多边形”,很难找到任何方法来捕捉这种直觉。阿基米德提供了一种方法来准确确定 c 和 c’ 之间的关键区别,证明无论您认为面积 ε 有多小,总有一个整数 n 足够大,使得面积 Pn 在 c 的面积内ε 区域内。这不适用于 c’ 的区域。这一事实,再加上外接多边形的结果,再加上他论证中包含的复杂逻辑,使阿基米德最终能够证明圆的面积等于πr2,而不用求助于无穷大。

    实际无限和潜在无限

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    虽然阿基米德在这种特殊情况下成功地避免了无穷大,但毕达哥拉斯学派(由毕达哥拉斯建立的一个宗教团体)遇到了无穷大无法真正逃脱的情况。这一发现打破了他们对宇宙两个基本原则的信念:Peras(有限)对所有人都有好处,而 Apeiron(无限或无限)对所有人都不利。他会坚持认为,宇宙中的一切都可以用正整数来理解,最终确实是由正整数组成的,而且每个正整数都是有限的。他们认为,这种简单性是可能的,因为 Peras 总是征服 Apeiron。

    然而,毕达哥拉斯发现直角乌龟的斜边的平方等于其他两条边的平方和。给定这个定理,正方形的对角线与任一边的比率为 √2:1,因为 12+12=(√2)2。如果 Peras 无差异,则该比率应适用于两个正整数 p到 q 但这是不可能的。考虑两个正整数 P 和 q,使得 P 与 q 或 P 除以 q 的比率等于 √2。我们可以假设 P 和 q 没有大于 1 的公因数。如有必要,我们可以除以一个公因数,) P2 是 q2 的两倍,所以 P2 是偶数。也就是说,P 本身是偶数。因此,q 必须是奇数,否则 2 是它们的公因数。但是,现在考虑:如果P 是偶数,一定有一个正整数 r 正好是 p 的一半。因此,(2r)2 等于 2q2,或者 2r2 等于 q2。这说明 q2 是偶数,q 本身也是偶数。这和上面的证据是矛盾的。

    这个结果对毕达哥拉斯人来说是一场灾难(据说他们中的一些人因为将这一发现泄露给敌人而遭遇海难)。他们发现了一个“不合理”,这样做之后,他们看到了正整数的缺陷,他们不得不承认其中出现了无穷大。的确,现代数学家会说√2是一个“无限对象”,不仅它的小数部分是无限展开,而且这种展开绝不会采取有限循环的形式。

    亚里士多德在公元前 4 世纪发现了一个更普遍的问题。一方面,我们被迫承认无限。不仅仅是更多关于我们要说的:时间似乎无限延续,数字似乎没有尽头,空间、时间和物质似乎永远不可分割。另一方面,我们面临着来自各方的压力,包括芝诺的悖论放开无限。

    亚里士多德对这一困境的解决方案非常巧妙。他区分了两种不同的无限。实际无限,其无限存在于某个时间点和潜在无限,其无限分散在整个时间中。亚里士多德相信所有对无限的反对都是反对实际的无限。另一方面,潜在的无限是真实的。基本特征。它应该在永无止境的过程中得到认可,包括计数、物质的划分和时间本身的流逝。两类无穷大的区别为芝诺悖论提供了解决方案。穿过一个空间区域不是通过子区域的实际无限的运动,子区域的实际无限是不可能的。但它指的是通过子区域的潜在无限c无穷大符号怎么打,在这个意义上,划分空间的过程没有结束。幸运的是,这个结论是无害的。

    亚里士多德对实际无限和潜在无限的区分被认为是正统的,并且长期以来一直有效。然而,学者们经常将时间称为更深层次的隐喻。当前的“准时”和当前的“同时”具有更广泛的含义。反对实际无限是反对某些实体可以超越所有有限测量的性质的想法;它也拒绝承认无限本身是一个正式的研究对象。

    大约 2,000 年后,数学家在创建微积分时再次接受了无限(实际和潜在)的训练。牛顿和莱布尼茨在 17 世纪引入的早期微积分工作远未达到严格的希腊标准。事实上,数学家不加选择地提倡无穷小——数量太小而无法测量。有时这些数量被视为等于零。例如,将它们添加到其他数字中会使原始值保持不变。在其他时候,它们取零以外的值,用于除法。 G·E·Antoine 写道:“一条曲线可以看作是无数直线段的总和,每一段都是无穷小的; · Wiesdras 复兴了“穷举法”,为微积分奠定了坚实的基础。

    无穷大和等多

    Cauchy 和 Wiesdrass 的工作结果使大多数数学家不再害怕芝诺悖论。那时,出现了一系列涉及平等的更重要的悖论。这些困难源于以下原则:如果所有的 An 元素都可以与另一个集合的所有元素配对,那么这两个集合必须具有相等数量的元素。例如,在一夫一妻制的社会中,丈夫的数量必须与妻子的数量一样多。这个原则看起来是无懈可击的。然而,将其应用于无限集似乎忽略了 Alcirid 首次阐明的一个基本概念:整体总是大于部分。例如,所有正整数都可以与那些偶数配对:1 和 2、2 和 4、3 和 6 等。这忽略了正整数也包含奇数的事实。中世纪有很多类似的例子,有些是几何的。 13世纪的苏格兰数学家J·D·斯考德斯对两个同心圆的情况感到困惑:小圆较短圆周上的所有点都可以与大圆较长圆周上的所有点配对。相应的结果适用于两个球体。大约 350 年后,伽利略讨论了偶数配对情况的变化,这里用整数平方代替。尤其令人惊讶的是,存在越来越大的正整数序列的更大片段,它们与其平方的比趋于零。然而,配对过程会无限期地继续下去。

    由于这些困难,总是希望完全避免无限集是很自然的。更一般地说,总是想象 Yaris Dodd 不承认可以同时将无限数量的东西放在一起。然而康托尔最终挑战了亚里士多德。在他精湛的工作中,悖论很容易解决,连贯性、系统性和关于实无限的复杂理论,随时准备回答来自任何方面的疑问。康托尔接受“对的分离”原则及其逆命题:除非它们的元素可以分离成对,否则两个集合是不相等的。据此,他承认:偶正整数的数量与正整数的总数一样多。

    为了论证,为了适应这个问题的现代数学惯例,让它这样做。如果这个原则意味着整体不大于部分,那么它是正确的。事实上,我们可以应用这个想法来定义无穷大,至少在将它应用到集合时是这样:一个集合是一个无限集合,只要它不大于它的 Part 之一。准确地说:一个集合是无限的,只要它的元素数与它的真子集一样多。

    一旦事情以这种方式澄清,剩下的问题是,所有无限集都一样多吗?康托尔的著作中包含大量的影响力证明并非如此。有不同的无限尺度,这个命题来自康托尔定理:没有集合,特别是没有无限集合,它的元素与其所有子集一样多。换句话说,没有一个集合像它的子集那么大。为什么?因为如果一个集合是这样的,它的所有元素必须能够平分它的所有子集。然后一些元素将被包含它们的子集一分为二。其他人没有。因此,不包含在已经成对的集合中的元素集合会发生什么?没有任何元数据可以毫无矛盾地从这个子集中一分为二。

    这个论点可以重写为图表(下图)。为方便起见,我们将关注正整数的集合。我可以使用是和否的无限序列来表示正整数集合的任何子集,并记录每个正整数是否属于这个集合。例如,偶数的集合可以用下面的序列表示:(no, yes, no, yes, no, …) 对应1, 2, 3, 4, 5, 等等。类似地,我们可以表示奇数的集合:(yes, no, yes, no, yes…);素数集:(不,是c无穷大符号怎么打,不,是,不,是…);正方形的集合:(是,否,否,是,否……)一般来说,对除子集之外的任何相应正整数的任何分配(例如所示的纯任意情况)都可以由一个无限网格表示是和否都表明它。

    5.2

    为了表明至少有一个子集不在此子集表中,我们创建了一个新子集。解决方法是将图中的“正方形的对角线”下移,将每个yes替换为no,反之亦然。写下它们(是的,是的,不,不,…)。结果就是上面提到的子集,通过构造,它与第一个子集的区别在于1是否属于它,与第三个子集的区别在于它是否属于它,并与第三个子集区别开来通过 3 是否属于它。区分第三个子集,依此类推。这是一个有趣的历史嘲弄:正如对对角线的研究让毕达哥拉斯学派承认无穷大超出了正整数的理解范围,康托尔也是如此,只是方式不同。

    后来康托尔设计了无限基数——一个可以用来衡量无限集大小的数字。他还为他们发明了一种计算方法。在定义了这个术语之后,他探讨了当一个无限碱基与另一个碱基相加、一个碱基与另一个碱基相乘、它自身相乘时会发生什么,等等。他的作品展示了最高质量的数学技能。但即使用他自己的术语来说,困难仍然存在。连续集问题可能是其中最著名的问题。我们知道正整数集小于正整数集。但是小了多少呢?特别是还有居中的集合吗?

    康托尔的连续集假设

    康托尔著名的“连续集假设”是:没有。但他从来没有成功地证明这个概念,也没有反驳它。后来的工作表明,情况比他想象的要严重得多。这个问题不能通过应用现代数学公认的方法来解决,这个难题引发了关于康托尔概念准确性的哲学问题。询问连续统假设是否正确有点像询问哈姆雷特是否是左撇子。似乎对它的了解不足以形成答案。如果是这样,我们应该重新考虑康托尔的工作是否足以征服无限的现实。

    更重要的是围绕所有集合的集合问题。知道康托尔定理,这个集合一定小于集合的集合。可是等等!集合的集合本身就是集合。因此集合的集合必须小于它自己的真子集,这是不可能的。整体可以和部分一样大,但不能小于部分。康托尔是如何摆脱这个陷阱的?他固执地固执,不承认有收藏之类的东西。他的推理在于下面的集合图:有些东西不是集合,然后有所有这些东西的集合,然后有所有这些东西的集合。等等,不,有一个结局。每个集合都属于另一个集合。但是永远不可能有一个集合,每个集合都属于它,而康托尔的推理就是为此目的而建立的。但是像 B. Russell 的著名悖论(1901 年发现)这样的论证是必要的,它涉及到所有不属于它们自己的集合。称它为集合R。例如,老鼠的集合是一个不属于自己的集合的元素,因为它是一个集合而不是老鼠,罗素悖论的重点是R是否可以属于它自己。如果它可以,根据定义,它就不属于 R。如果它不能,它满足成为 R 的元素的条件,因此属于它。在集合的各个方面,R 总是有一些不可靠的地方。根据康托尔,没有集合属于自己,R(如果存在)是所有集合的集合。这个论点使康托尔的图景,以及随之而来的对 R 的拒绝,更加合理。

    但这幅画是不是令人惊叹的亚里士多德哲学?请注意,集合被描述为出现在其元“之后”的世俗说法。根据这个说法,总会有更多的元数据。他们的群体无限(与他们中的任何一个相反)是潜在的,而不是实际的。而且,这样的群体不是最适合这个资格吗?人们通常将无限定义为无限、无界、不可观察和不可测量。没有人会允许一个无限集的学术定义来表达他对这个概念的直观理解。但是已知的康托图,无穷大、无穷大、不可观察性和不可测量性,比它们中的任何特定集合更适合整个系统。

    然后,例如,康托尔想到了一些方法来证明正整数的集合是“真的”有限的,而“真的”无限是不是这些方法可以证明的。 (他本人并不不愿意用这些术语说话。)具有讽刺意味的是,他的作品似乎为亚里士多德的正统观念提供了具体的内容:“真正的”无限可能是绝对不真实的。

    一些学者反对我的主张,即在康托尔的概念中正整数的集合是“真正的”有限的。他们认为,这种说法不仅与标准数学术语相矛盾,而且似乎与我提到的和大多数人所说的相矛盾。

    是的,当然大多数人会说:正整数的集合“真正”是无限的。而且,大多数人不知道康托尔的结果,也不知道一个无限集可以大于另一个无限集。我的论点不是关于大多数人说什么,而是关于他们如何理解他们使用的术语,以及这种理解如何最好地吸收康托尔结果对任何特定目的的冲击。没有什么能强迫我们在这里。我们可以说一些无限集比其他无限集大。我们也可以说正整数的集合只是有限的。我们可以从一种陈述变为另一种陈述,也可以否认正整数集的存在。

    如果当前的工作是表达一些标准的数学结果,我不主张使用标准数学术语之外的任何措辞。但我强烈主张数学家和其他科学家在评估康托尔的结果如何影响传统的无穷大概念时应该比平时更加​​小心。似乎无穷大仍然遥不可及。

    [科学美国人,1995 年 4 月]

    ____________________

    * A.W.摩尔是牛津大学圣休学院的哲学研究员。他的主要学术兴趣在于逻辑学、形而上学、康德哲学和维特根斯坦哲学(英国哲学家、数理逻辑学家)。这一切都渗透到他关于无限的著作中。

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