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  • 【每日一题】三垂线定理的教学目标(一)

    §1. 11 三垂线定理的教学目标 1.使学生理解和掌握三垂定理及其反定理; 2、通过对三垂定理的探索过程,进一步渗透了立体几何证明中的变换思想。体现在线与线、面垂直的辩证关系上; 3、能初步掌握三垂定理和三垂定理反定理的应用。注重培养学生对变体形式下三垂定理的应用能力。进一步提高学生的空间想象力。教学重点和难点 1、三垂定理的介绍和证明可以在教学过程中培养学生的探索能力; 2、三垂定理在变位下的应用。教学设计处理器:让学生回忆空间中两条直线的位置关系? (思考从问题开始,指出本课是对空间中两条直线位置关系研究的延续) 学生:相交、平行或不同。老师:是的。我们可以将上述三种情况表示为: 上述三种情况可以表示为空间中两条直线平行,我们已经研究过这种特殊的位置关系。两条直线与不同平面相交的另一种特殊的位置关系——空间中的两条直线相互垂直,值得深入研究。关于两条直线相交的垂直问题,我们在平面几何学上做过系统的研究,现在重点讨论不同平面的垂线的情况。 (进一步指出对空间直线和直线垂直度的研究) 我们的问题是:如何确定两条直线在不同平面上的垂直位置关系?盛:根据两条不同平面相互垂直的直线的定义来判断。也就是说,如果两条相互对立的直线所成的角为90°,则将两条相互对向的直线称为相互垂直。师:这个答案很好。其实是由两条相对的直线所成的角是直角所决定的。这是通过两条对面直线的垂直度的定义,即定义方法来判断的。但归根结底,定义和判断往往不是很容易操作,在以后的证明中使用起来也不是很方便。我们可以换个角度考虑吗?有没有更简单的方法来确定相对两侧的两条直线是否垂直? (进一步调动学生的思维,在定义之外探索新的判断方法) 学生:可以利用直线与平面垂直度的性质定理来判断。也就是说,如果一条直线垂直于一个平面,那么它垂直于平面内的任何一条直线,而平面内与垂直线不同的直线有无数条,因此可以确定。老师:很好!学生掌握了证明线条垂直度的基本思维方法。为了证明线是垂直的,只有线的表面是垂直的。 (它为证明三垂线定理奠定了基础!) 如图 1 所示,如果 l⊥α,a α,则 l⊥a。但是这里l⊥α,情况太特殊了,如果l和a是斜的呢?即l是平面α的斜线。能否确定平面内的直线a与直线l垂直?画图2,aα,l∩α=O,(lα)。那么如何判断a和l是否垂直呢? (提出问题,请学生思考) 老师:进一步启发(分析图2) 根据线面垂直度的定义,我们知道如果线a可以垂直于通过线l的平面,那么a ⊥l. 所以,new 问题是:如何找到这样一个平面——一个通过 l 并且垂直于 a 的平面?我们知道这样一个满足条件的平面必须有两条相交的线(l 不在其中,当然),两者都垂直于线a,不能先解决一部分,即先做一条与l相交且垂直于a的直线?(灵感不给,由学生自己思考) 学生:在 l 上经过一点 P(不同于 O 点),在 A 处做 PA⊥α,那么由于线和平面的垂直度,所以有一个⊥PA。老师:非常好!在图3中,使PA⊥α在A中(此时不连接AO),在黑板上写PA∩PO=P,确定平面PAO,To做一个⊥l,我们只需要一个⊥平面PAO。因此,只要平面 PAO 中有另一条垂直于 a 的直线!而平面PAO中哪条线路使用最方便?把上面的想法写在黑板上:老师,你应该画AO。学生:老师,你应该画AO。老师:对!这是非常好的!当两个平面相交时中垂线逆定理可以直接用吗,画一条相交线(用红笔画直线AO。(如图4)同学:显然你应该填a⊥AO。(顺其自然,这是本课的核心) 老师:很好。这是一个完美的思维方式。老师:我们共同探索了一个重要的定理。请描述这个定理。你可以根据思维路径的上下文用自己的语言表达出来。学生:如果一条直线垂直于这个平面的一条斜线在平面上的投影,那么它也垂直于这个斜线。老师:对吗?请同学们看看是否正确?学生:不,第一个全部,你应该描述一条“在平面上”的直线。老师:是的!这很重要(黑板上写的三垂线定理)。试着分析定理中的关键词,用符号语言表达出来。如图4。PA⊥α在A中,PO∩α=O,AO为项目PO 的离子在平面 α 上。 a α,如果 a⊥AO,则 a⊥PO。请写出条件和结论 请写出条件和结论。 (板书) 已知板书:PA⊥α在A中,PO∩α=O,(这里暗示AO是斜线PO在平面α上的投影)aα,a⊥AO。证明:a⊥PO。(请同学们完成证明过程。其实通过前面的探索过程,定理已经被证明了,只要让同学们玩黑板改正即可。) 证明:老师:可以你给这个定理起个名字吗?盛A:我从条件中找到了两个纵向关系盛A:我从条件中找到了两个纵向关系。我将他命名为两垂直定理。笑)老师:好!如果你是第一个发现这个定理的人,今天它可能被称为两条垂直线的确定。原因。那么结论中的一个重要的垂直方向呢?学生B:最好叫它三垂定理!老师:好!这是立体几何中重要的三垂定理。它是证明空间中线和线的垂直性的一个重要定理。两位同学总结了三个垂直方向。哪个垂直是关键?显然,平面 α 的垂直 PA 是关键!我们如何记住这个定理?盛答:只要平面上的直线垂直于投影,就垂直于斜线。盛B:我记得在平面上是有垂直关系的,然后在空间中转化为垂直关系。老师:很好!两个学生的记忆方法各有千秋,可以根据自己的习惯给予记忆。其实这两个学生的本质是一样的,A中PA⊥α的前提和a中的关键词也要强调一下。要深入理解定理的证明思想,证明中主要体现了哪些数学思想?盛:变换的思路,就是证明线是竖的,只要变换成线的竖就行了。师:请同学们找出平面上的直线a是否是唯一的?盛:不止一个,因为在平面α中,只要平行于a的直线一定垂直于投影,那么它一定垂直于斜线,这样的直线是一组平行的直线。老师:展示一组幻灯片。如图5所示,这组平行直线只需左右摆动动片(包含直线a的拉片)即可显示出来。当且仅当 a 通过点 O 时,a 和 PO 共面且垂直,其余的都在平面外垂直。 (图中框架1固定,框架2可以拉拉,a在2上画,左右拉可以看出a的运动过程是一组平行线) 老师:你可以构造三垂定理逆命题吗?这是一个真实的提议吗?并证明。 (在探索三垂线定理的过程中,大前提、小前提和结论已经分析清楚了,所以在这里同学们可以比较顺利地构造它的反命题。) 同学们:只要把三垂线定理放在, 的小前提 a⊥AO 可以在结论中与 a⊥PO 互换。 (老师把黑板上的条件a⊥AO和结论a⊥OP互换)这是一个真命题吗?学生:是的!同三垂线定理的证明。例1 如图6所示,PA垂直于以AB为直径的圆O的平面,C为圆O上的任意一点(不同于A、B)。尝试确定图中有多少个直角三角形并解释原因。 (这是立体几何中的一个重要图形。既有线面垂直度问题,也有线面垂直度问题,既是三垂定理的应用,又是平面几何知识的应用) 盛答:二。它们分别是 RtΔPAC 和 RtΔPAB。学生B:三个。还应该有Rt△PCB。师:直角是谁?同学B是什么原因:∠PCB,可以用三垂定理证明。师:你能描述一下吗?清楚地描述了根据三垂定理的操作过程。盛B:因为PA⊥⊙O平面中垂线逆定理可以直接用吗,PC∩⊙O平面=C,因为∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以BC⊥PC。师:出生证上又要强调什么?生C:BC飞机⊙O。师:除了这三个直角三角形,还有别的吗?生:应该还有一个Rt△ABC,因为直径上的圆角是直角。老师:好!只有这样,我们才能充分理解空间图。实际上图形 P-ABC 是一个三角锥。原来,三角锥的四个面都可以是直角三角形。请想一想:你能不能再造一个三角锥,使四个面都是直角三角形? (课后继续思考) 师:通过例一,判断的关键是什么?健康:飞机的垂直线PA是关键,有了它,前三个Rt△就可以保证。课堂教学小结 本课我们讨论“是否存在垂直于平面斜线的直线”的问题。具体方法是将问题转化为研究平面内直线与平面内斜线的位置关系,平面上唯一的直线——投影,得到三垂定理。这充分体现了研究立体几何的基本思维方法——降维变换的思维方法,将空间问题转化为平面问题来解决。理解三垂定理的精髓有四点:(1)从证明的角度看(1)从a⊥AOa⊥平面的证明角度看AOPa⊥PO(2)三垂线定理及其反定理是确定空间中两条直线垂直度的定理。在证明直线和直线的垂直度方面有广泛的应用。和四条线):平面α、α的垂线PA、α的斜线PO、PO在α上的射影AO和平面α中的直线a。“三垂线”的解释是多种多样的。例子:也可以理解为后者的理解,本质上就是应用三垂线定理的思维过程和操作过程。“一边四线”的垂线是关键。在使用三垂线的时候- 垂线定理解决问题,首先要做的是确定平面 α ,然后把握曲面的垂线 PA ,其他直线将据此生成,并在各种变体条件下区分各元素的关系。 (4)如果研究命题的充要条件,可以总结为:“平面中的线与平面的斜线的充要条件是垂直的,如果充要条件和命题的必要条件已经研究,条件是平面中的线垂直于斜线。” p. 30 练习 1;2. 教科书 p. 31 ~ p. 32 练习 4 11, 12,13。wn-kl)ik*hi&fh $ ef! #BdYAbXyaVw8Tv6St5Qs3Pq2Np0Mn+Km)Jk(Hj&Fh$Ef!CeZBcYzbWy9Vw8Tv6St5Qr3Oq1 No0Ln- Kl)Ik*Hi&Fh$Ef!CeZAcXza Wx9Uw7Tu6Rt4Qr3 Oq1No0Lm-Jl(Ij *Gi%Fg$Df#CdZAc XzaWx8Uv7Su5Rs4Pr2Op1 Mo+Lm-Jl(Ij *Gh%Eg! de#bdyabxyavx8uv7su5rs3pq2np0mn+km) 2Op1Mo+Lm-Jl(Ij*Gi%Fg$Df#CdYAbXyaVx8Uv7Su5Rs4Pr2Op1Mo+ Km)Jk(Hj &Gh%Eg!De#BdYAbXyaVx8Tv6St5Qs3Pq2Np0Mn+Km)Jk(Hj&Fh$Ef!CeZBcYzbWy9Vw8Tv6St5Qs3Oq1No0Ln-Kl)Ik*Hi&Fh$Ef!CeZAc XzaWx9Uw7Tu6Rt4Qr3Oq1 No0Ln- Jl(Ij *Gi%Fg$D f#CdZAcXzaWx9Uv7Su5Rs4Pr2Op1Mo+ Lm-Jl(Ij *Gi%Eg!De#BdYAbXyaVx8Uv7Su5Rs4Pq2Np0Mn+Km)Jk(Hj &Gh%Eg!De#BcYzbWy9Vw8Tv6St5Qs3Pq2Np0Mn+Kl!I) CeZBcYzbWy9Vw7Tu6Rt4Q r3Oq1 No0Ln – Kl)Ik*Hi&Fg$Df#CdZAcXzaWx9Uw7Tu6Rt4Qr2Op1Mo+Lm-Jl(Ij*Gi%Fg$Df#CdZAbXyaVx8Uv7Su5Rs4Pr2Op1 Mo+Lm)Jk(Hj&Gh%Eg!De #BdYAbXyaVx8Uv6St5Qs3Pq2Np0Mn+Km)Jk(Hj &Gh$Ef! 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