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  • 【知识点】极限是微积分学中的概念和计算方法能够建立和应用的前提

    函数极限的方法总结

    极限是微积分中的一个基本概念,是微积分中各种概念和计算方法建立和应用的前提。以下是求函数极限的方法总结,欢迎阅读参考!

    求函数极限的方法总结

    求函数极限的方法总结1

    利用函数的连续性:直接将趋势值带入函数的自变量,此时要求分母不能为0;通过已知限制:需要牢记两个重要限制;使用 L’Hubida 法则求极限:L’Hopita 法则是求分数极限的好方法。当公式为0/0或∞/∞时,可以使用Labida,其他形式也可以转化为这种形式。

    函数极限是高等数学中最基本的概念之一。导数等概念是在函数极限的定义上完成的。合理利用函数的极限性质。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、顺序保持性、函数极限的算法和复合函数的极限等。

    1、等价于无穷小变换,(只能用乘除法,但不代表不能用加减法。前提是必须证明极限分裂后仍然存在。X 次方 -1 或 (1+x) 次方 -1 等价于 Ax 等。全部记忆(当 x 接近无穷大时恢复为无穷小)。

    2、@ >鲁比达定律(有时大话题会提示你使用这种方法)。首先,他的使用有严格的先决条件!一定是X逼近而不是N逼近! (所以在遇到序列的极限时,必须先转换为x接近时的极限,当然n接近只是x接近的情况,是必要条件(也有极限n的点的数列当然是接近正无穷大,不可能是负无穷大!)函数的导数一定存在!(如果你告诉你g(x),却没有告诉你是否可导,直接用,无疑是找死!)一定是0比0的无穷大!当然要注意分母不能是0。L’Hubida定律分为3种情况:0比0无穷大是直接用的时候与无穷大相比;0乘以无穷大,无穷大减无穷大(应该是无穷大大于无穷小为倒数的关系),所以无穷大写成无穷小形式的倒数。通式后,可成为第一个形式;0 到 0 次方,1 到无限次方,无限的 0 次方。对于(指数幂)方程法,主要的方法是取指数,也取对数的方法,使幂上的函数可以下移,写成0和无穷大的形式,(这这就是为什么只有 3 种形式,当 LNx 两端接近无穷大时,他的功率下降到 0,当它的功率下降到无穷大时,LNX 接近 0)。

    3、泰勒公式(用e的x次方,尤其是正弦和余弦的加减法,要特别注意!)E的x展开sina,展开cosa,展开ln1+x,即对简化问题很有帮助。

    4、面对无穷大于无穷的解,取大头原理的最大项,除以分子和分母!看起来很复杂,但处理起来很简单!

    5、无穷小于有界函数的处理方法,在面对复杂函数时,尤其是正弦和余弦的复杂函数与其他函数相乘时,一定要注意这种方法。面对非常复杂的函数,你可能只需要知道它的范围,结果就出来了!

    6、Clamping theorem(主要处理数列的极限!)这主要是看极限中的函数是方程除法、缩放和展开的形式。

    7、适当的等差数列公式应用(处理数列的极限)(q的绝对值应小于1)。

    8、每一项的除法和加法(消除(处理级数的极限),可以用待定系数法拆分约简函数。

    9、求左右极点的极限法(处理序列的极限),比如知道Xn和Xn+1的关系,当已知Xn的极限存在时, xn的极限与xn+1的极限相同,因为如果从有限项中去掉极限,极限值不会改变。

    10、两个重要限制的应用。这两点很重要!对于第一个是x接近0时sinx与x的比值。第二个是如果x接近无穷大,infinitesimal有一个对应的`形式(第二个实际上用于函数的无穷形式是1)(当基数为 1 时,特别注意使用两个重要限制的可能性。

    11、还有一种方法,一种很方便的方法,就是在逼近无穷大的时候,不同函数逼近无穷大的速度是不一样的! x 的 x 次方比 x 快!比指数函数快,比幂函数快,比对数函数快(画图也能看出速度的快慢)!当 x 接近无穷大时,它们的比率的极限可以一目了然。

    12、@>替换法是一种技能,不仅单题要换元,而且替换是混合的。

    13、如果要计算的话,四规则算法也是一种方法,当然也包含在其中。

    14、还有一种处理序列极限的方法,就是遇到问题的时候真的没办法,绝望的时候可以考虑转换成一个定积分。通常是从0到1的形式。

    15、单调和有界性质,在处理递归级数时用来证明单调性!

    16、直接用导数的定义求极限,(一般x接近0时,在分子上加减f(x加减某个值)(x)形式,应该看到的时候要特别注意)(当标题告诉你F(0)=0 and f(0)derivative=0)时,说明你必须用导数来定义!

    函数就是表皮,函数的性质也体现在积分和微分上。例如,他的奇偶性和他的周期性。还有复合函数的性质:

    1、奇偶性奇函数关于原点对称,偶函数与偶函数左右轴对称图相同(奇函数相加为0);

    2、@>周期性也可以用在导数中,在定积分中也有应用。定积分中的函数是周期函数积分的周期及其周期;

    4、还有单调性。 (这个性质在再次找0点的时候可能会用到!(一个函数能导出的单调性与其导数正负相关):是连续的,所以不连续点用于不连续函数)不连续点分为第一类和第二类剪切点。第一类是左右极限都有(左右极限存在但不连续点)不等跳转或左右界限等于但不等于此时函数的值。即使不存在也可能有界)。

    数学成绩是长期积累的结果,所以准备时间一定要充足。一、对每个知识点进行深入细致的分析,注意考点和关键题的同时,逐步进行一些训练,积累解题思路,有利于消化吸收知识,透彻了解相关知识的纵向和横向联系,并将其转化为您真正掌握的东西。

    求函数的极限2方法总结

    (2、6@>四种算法

    四种算法在极限中最直接的应用就是分解,即将一个复杂的函数分解成几个相对简单的函数求和、积、商,分别求极限就可以得到所需的极限。但是分解时要注意:(2、7@>分解的每一部分各自的极限必须存在;(2、8@>满足对应的四个算术规则,(分母不能是2、9@>。另一种应用四个算术运算中的一个就是“抢大头”,如果极限公式中的几项都是无穷大,从无穷大中选出起主要作用的一项,选择标准是选择最快接近无穷大的一项,对数函数逼近无穷的速度远小于幂函数,幂函数逼近无穷的速度远小于指数函数。

    (二) 拉比达定律(结合等效无穷小代换,变极限积分求导)

    洛皮达法则解决了“零到零”或“无限到无穷大”的不定形式,所以只要这两种形式的不定形式都可以考虑使用洛比塔法则必备法则。当然,在使用Labida的时候需要注意:

    (2、7@>它的三个条件必须满足,尤其是第二个和第三个条件,当三个条件都满足时,L’Hopita的规则只能在正确的时间使用;

    (2、8@>在使用L’Hopita法则之前,一定要先化简,把需要极限的公式变成“干净”的公式,否则会遇到求导越多的情况,越是麻烦,有的甚至无法求得,所以必须先化简。化简的常用方法是等价无穷小代换,有时会用到四次算术运算,考生必须记住常用的等等。价格无限小,代入原则(乘除因子可以换,加减不换)考研除了变限积分和拉比达的结合,首先要考虑拉比达对于这类问题。,但我们还需要掌握变极限积分的推导。

    另外,有时考试中不直接考“零到零”或“无穷到无穷”类型,会出现“零乘以无穷”。在“无穷减无穷”的形式中,我们采用的方法是将它们变成“零到零”或“无穷到无穷”类型。

    (三)使用泰勒公式求极限

    使用泰勒公式求极限也是考研中常用的方法。泰勒公式可以用来推广常用的等价无穷小,如

    (四)定积分的定义

    (四)定积分的定义

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    考研中,n项极限和极限不能用夹紧力定理求解。这时候就需要用定积分定义来求极限了。这种形式很常用。

    只要把需要的极限补到左边的表格中,就可以用定积分求极限了。

    求函数极限的方法总结3

    1.验证定义:“猜测”极限值,然后验证该值确实是极限值/验证收敛复合函数能用等价无穷小吗,然后从极限唯一性中得到。

    2.利用收敛定理,两边钳制,关于无穷小/大的一些结果,四次算术运算,复利(正式的“替换公式”),函数极限的序列定义。

    从1+2得到的一些基本结果开始,使用3可以做很多极限运算。

    从函数的极限开始:

    3.利用初等函数的连续性,结果极限变成了求函数值。

    4.关于P(x)/Q(x),P和Q是两个多项式。如果Q(a)不等于0,见4;如果 Q(a) 等于 0 但 P(a) 不等于 0,则无穷大;如果Q(a)=P(a)=0,使用综合除法,P和Q除以(x-a),可以多次除复合函数能用等价无穷小吗,直到“Q”不能整除,所以转化为前面的情况。

    5.Other 0/0:用“换元”千方百计将其转化为几个基本极限中的一个或多个。当然这里有一个大杀手L’Hospital规则,但是注意不能用来求sin x/x(x趋向于0),因为:L’Hospital规则需要sin的导数,而求 lim sin x/ x——求 sinx 的导数。

    关于序列限制;

    6.0/0,使用 a^n-b^n=(a-b)[a^(n -2、7@>+ba^(n-2、8@>+…+b^( n-2、7@>]和加减辅助项,尽量把减法转成加法。

    7.如果是递归形式,先用递归公式求极限(如果有)应该满足的方程,求极限,然后验证数列收敛。或者使用压缩图像。

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