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  • 【每日一题】微分中值定理的定义及其证明方法

    微分中值定理推广与应用论文选(滇池大学供稿).doc》为会员共享,可在线阅读。 ).doc(19页珍藏版)”请到荀库搜索。

    1、.微分中值定理的推广和应用 介绍微分中值定理的定义和证明方法,讨论四大微分中值定理之间的关系,讨论中值定理。作了适当的扩展,详细分析了微分中值定理在证明方程、不等式和讨论方程根存在性方面的应用。关键词微分中值定理;新的证明方法;概括;费马定理;考研;微分中值定理的推广及其应用摘要 介绍微分中值定理的定义及其应用

    2、证明方法,讨论了三个微分中值定理之间的关系,以及适当推广中的中值定理,同时具体分析了微分中值定理在证明等式中的作用, 不等式和讨论方程的根

    3、 方面。关键词:微分中值定理;新方法;广义费马定理;考试;目录 1 引言 2 微分中值定理的定义 3 微分中值定理及其证明方法3.@ >1 费马定理3.@>2 罗尔中值定理3.@>3 拉格朗日中值定理3.@>4 柯西中值定理3.@>5 泰勒中值定理 4 微分中值定理的推广4.1 罗尔中值定理的推广4.2 拉格朗日均值的推广定理4.3 柯西中值定理的推广4. 4 泰勒中值定理的推广 5 微分中值定理的应用5.1 用微分中值定理证明方程5.2 用微分中值定理证明不等式5.3

    罗尔定理几点讨论_罗尔中值定理推广形式_罗尔定理有什么用

    4、 讨论方程根的存在性5.4. 考研微分中值定理的应用 结语 参考文献 致谢 均值定理和柯西中值定理统称为微分中值定理。它们是微分均值理论中最基本和最重要的定理,可以加深学生对微分均值定理的理解。它的出现是一个汇集了众多数学家研究成果的过程。从费马到柯西,理论知识不断提高,在引入微积分后成为数学研究的重要工具之一,应用也越来越广泛。微分中值定理 在研究函数在某一点的局部性质方面也起着非常重要的作用;功能图像的方向;曲线凹凸的判断;积分中值定理;级数理论;平等和不平等的证明。因此,微分中值定理成为整个微积分的基础和重要内容

    5、.2 微分中值定理的定义微分中值定理是一系列中值定理的总称,是研究函数的有力工具。最重要的内容是拉格朗日定理,可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特例或推广。也就是说,微分中值定理是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在内的基本定理的总称。以下是用于证明微分平均值定理的几个概念。定义1(函数单调性)函数在定义域中。当时称为单调递增(strictly monotonically increasing)。那时,有定义 2(本地号码保存的限制) 如果 ,有任何这样的 。称为单调递减(严格单调递减)。定义3(最小值或最大值)定义如上,如果有(),则称为最小值(最大值)。它是最小值点(最大值点)。定义 4 (

    6、最小值或最大值)在任意点定义。如果有,就有(),则称为最小值(最大值),称为最小值点(maximum point)。定义5(凸性) 若函数曲线在每一点处都位于切线之​​上(之下),则称函数曲线为下凸(upward convex),或函数为下凸(upwardly)。凸)。定义6(凹) 如果一阶导数的一阶导数单调递增(或递减),则称其向上凹(downwardly concave),或函数曲线向上凹(downwardly concave)。 3 微分中值定理证明方法3.@>1 费马引理定理 内容:假设函数定义在一点的某个邻域内,并且可以微分于,如果有的话,有(或),那么费马定理几何意义:如果函数的曲线放在平面直角坐标系中,那么费马定理就具有几何意义:对于曲线,如果在一点有切线,并且是极值点,那么此时相切

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    7、平行于轴。证明是极值点。设为最小值点,则有any,there,if,then;可微,则 = 由局部数保留极限给出, 。因此=。所以有,即。 3.@>2 罗尔均值定理内容:若函数满足:在闭区间上连续;在开区间上连续 内部可导;区间端点处的函数值相等,也就是里面至少有一个点,使得罗尔定理的几何意义:如果满足罗尔定理的条件,那么至少有一个点在曲线上使得切线点平行于轴(如图所示),其中罗尔中值定理推广形式,。证明因为,并且。 (1)如果是常数,那么一定有,所以,存在,这样;(2)如果不是常数,那么非单调的,上连续中也有可导的,根据到引理 1,存在证明结束。3.@>3 拉格朗日中值定理 定理 3 如果函数满足 (1

    8、) 在闭区间上是连续的; (2)在开区间可导;那么至少有一点构成方程。证明使用罗尔中值定理。证明(方法一)引入了辅助函数,显然,它上连续,内可导,并且根据罗尔定理,有一点可以证明这一点。定理) 有必要证明存在使 (3.0@> @2)),则从满足罗尔定理的条件,存在使 (2) 成立,则 (3.0@> 成立。由此拉格朗日中值定理成立。3.@>4柯西中值定理 定理 4 令函数满足: (3.0@> 在闭区间上连续; (2) 在开区间上可导,那么,至少有一个点成立。证明(方法 一) 可以从定理条件知道,它可以是任意的,因此,只需要证明构造函数,显然,在 continuo我们,在

    3.8@> 内可微,根据罗尔定理,存在这样,即,所以。3.9@>1 泰勒均值定理 5 如果函数内有阶导数,函数顺序为以and为端点的闭区间是连续的,在其开区间可导,且与之间至少有一点,所以证明的泰勒多项式。开区间可导,可见。柯西中值定理的应用如下:与之间至少有一个点,所以 .4 微分中值定理的推广 微分中值定理是微积分的核心内容,并以其连续性有得到了发展和完善,并推导出了微分中值定理的许多推广。以下是微分平均值定理的几种广义形式。其中,有这样的。证明既然是内可导的,那么上一定有连续的,有。 (3.0@>当时为了二上二

    重点

    10、是连续延伸的,所以上边有连续,内可微分有。因此,满足罗尔定理的条件,存在这样的。 (2)此时,Because,so there,sothat,so在上连续,在内部可微分,满足罗尔定理,即存在这样。综上,有是这样的。3.@>3.9@>2 拉格朗日值定理的推广定理6(泛化一)假设是连续的和内可导的,那么存在这样的。证明作为辅助函数,显然它是连续的,并且是内可导的,并且,根据罗尔定理,我们有 ,存在使罗尔中值定理推广形式,命题被证明。定理 7 (promotion二) 如果它在有限开区间可导,且与 存在,则至少有一个点满足。证明 (1)此时,由定理 5 可知,结论成立。(2)此时,如一个辅助函数,它可以从里面推导出来,也可以从里面推导出来,因为;根据定理5,至少有一个po int 使。然后是,就是这样。综上所述,有一点说明了。

    11、4.3.9@>3 柯西定理的推广(拉比达定律一)如果满足函数f(x)和以下条件:3.0 @> 在a的某个偏心域中,可导,且;2)和;3)。那么。证明证明Lhobita定律需要求两个函数的比值和它们的倒数两个函数的比值之间的联系。柯西中值定理是实现这种联系的纽带。为了使函数f(x)和a满足柯西中值定理的条件,函数f(x)和a 是不断发展的。这不影响定理的证明,因为a 中函数极限的讨论与a 中函数f(x) 的值无关。证明进行了连续扩展函数f(x)和a在a中的集合,在x和a中作为端点区间上的函数sum满足满足柯西均值理论的条件m,则在 x 和 a 之间至少有一个点 c,因此已知 =0,因此有 =。因为c在x和a之间,所以当时是有条件的。

    12、3), with =.5 微分中值定理的应用是整个数学分析的重要组成部分,微分中值定理是微积分的核心内容, 它的建立 是证明方程、证明不等式、讨论方程根存在性的重要工具。5.1 用微分均值定理证明方程。示例 1 鞋面是连续的,并且是内部可导的。证明存在这样的,。证明用柯西中值定理,显然上式是连续的,并且是内可导的,因此,有这样的,所以。证明结束了。示例 2 让函数为连续、内部可导和。证明对于任何常数,存在,存在。证明使用罗尔定理,构造子,因为它是连续的,所以它是内部可导的,并且,并且,并且是连续的,它是内部可导的,所以,存在这样的,即。例3 假设:(3.0@>上连续;(2)内可导,证明存在这样。证明方法同例2,可以证明结论是如例3。在例7中,我们使用罗尔定理来证明需要构造原始函数。这样的函数有固定的原型。使用微分中值定理很容易得到你想要证明的结论。,内部可导, . 那么有这样. 证明因为 , 和 是连续内可导的, 所以, 一定有这样, 根据罗尔定理, 一定有这样. 例 5 证明恒等式:. 证明, 那么,所以, In 是一个常数函数. 有, so, that 成立. 例 6 让 and in

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