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  • 《离散数学》题库与答案、选择或填空(数理逻辑部分)

    离散数学”题库及答案

    , 选择或填空

    (数理部分)

    1、以下哪个公式总是真蕴涵?()

    (1) Q2>Q>P (2) Q2Q CDP=>P—Q (4) P (PQ)=> P

    答:第三章有公式(1)是加法,(4)可以从第二章的蕴涵等价公式得到(注意和吸收律的区别)

    2、以下哪个公式是永远正确的?()

    (1) ( n PQ)—(Q—R) (2)P—(Q—Q)⑶(PQ)—P (4)P—(PQ) 答案:(< @2), (3), (4) 可以通过蕴涵等价证明

    3、有下列公式,哪些是永恒真理的蕴涵公式?( )

    (1) P=>PQ ⑵ PQ=>P ⑶ PQ=>PQ

    ⑷P(P—Q)=>Q(5)(P—Q)=>P(6)P(PQ)=>P

    答:(2)是第3章的归约律,(3)类似于加法,(4)是假设推理,(3),(5),(6)可以通过蕴涵等价证明为真蕴涵

    4、在公式x((A(x) B(y, x)) z C(y, z)) D(x)中,自由变量为(),约束变量为()。答案:x、y、x、z(检查公式 x A 和 x A 中的定义,称 x 为指导变量,A 为量词

    的域。在 x A 和 x A 的域中,所有出现的 x 都称为约束出现,即 x 称为约束变量,而 A 中其他不出现约束的变量称为自由变量。所以在A(x), B(y, x) and z C(y, z)中,y是自由变量,x和z是约束变量,x是D(x)中的自由变量)

    5、判断下列语句是否为命题。如果是,请给出命题的真值。()

    (1) 北京是中华人民共和国的首都。

    (2) 陕西师范大学是一家工厂。

    ⑶ 你喜欢唱歌吗?(4) 如果 7+8> 18,则三角形有 4 条边。

    (5)去吧!(6)给我一杯水!

    答案:(1)是,T(2)是,F(3)否(4)是,T(5)否(6)

    否(命题必须是陈述句,而不是疑问句或祈使句。)

    6、命题“有些人是大学生”的否定是(),命题“所有人都是会死的”的否定是()。

    答:所有人都不是大学生,有的人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词换成“存在,替换为”,然后否定命题的结论,“和改变或改变和”)

    7、假设P:我生病了,Q:我去上学了,那么下面的命题可以符号化为( )。

    (1)除非我生病了,我才去学校(2)如果我生病了,我就不去学校)

    (3)当且仅当我生病时我才去学校(4)如果我没有生病自然数是整数的逆命题,那么我就去学校

    答案:(1) QP(请注意,“仅当…”和“除非…然后…”都是

    形式) (2) PQ (3) PQ (4) PQ

    & 设个体域为整数集合,则下式的含义为()。

    (1) xy(x+y=O) (2) yx(x+y=O)

    答案:(1)对于任何整数 x 都有一个满足 x+y=0 的整数 y

    (2) 存在一个整数 y 满足 x+y=0 对任何整数 x

    9、假设整个域D是一组正整数,判断下列命题的真值:

    (1) xy(xy=y) ( ) (2) xy(x+y=y) ( )

    (3) xy(x+y=x) ( ) (4) xy(y=2x) ( )

    答案:(1) F (矛盾方法:如果存在自然数是整数的逆命题,则 (x- 1 ) *y=0 对所有 x 都为真,这显然与前提条件相矛盾) (2) F (同理) ( 3) F (类似) (4) T (对于任何整数 x 都有一个满足条件 y=2x 的整数 y 显然为真)

    10、假设谓词P(x) : x 是奇数,Q(x) : x 是偶数,其中谓词公式x(P(x) Q(x))

    在单个域中是真的吗?()

    (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)–(3)

    答:(1)(在某个体域中,要么奇数要么偶数,在整数域满足条件,自然数子整数的子集,当然满足条件)

    11、 命题“2 是偶数或-3 是负数”的否定是( )。

    答案:2 不是偶数,-3 不是负数

    12、永恒真否定是()

    (1)永久真公式(2)永久假公式(3)可以满足公式⑷(1)–(3)所有可能

    答案:(2)(记住这一点)

    13、公式(PQ)(PQ)可以简化为(),公式Q(P(PQ))可以简化

    为了( )。

    答案:P、QP(考查分配率和对等类型知识的掌握情况)

    14、谓词公式x(P(x) yR(y)) Q(x)中量词x的作用域为( )。

    答案:P(x) yR(y)(一对括号是一个作用域)

    15、令 R(x):x 为实数,Q(x):x 为有理数。那么“不是每个实数都是有理数”这个命题的符号表示是( )。

    答案:x(R(x) Q(x))

    (集合论部分)

    16、假设A={a,{a}},下列哪个命题错误的是()。

    (1) {a} P(A)②{a} P(A)⑶{{a}} P(A)⑷{{a}} P(A)

    答案:(2) ({a} 是 P(A) 的一个元素)

    17、在0()之间写上正确的符号。

    (1) = (2) (3) (4)

    答:(4)(空集没有元素,是任意集合的子集)

    18、如果集合S|S|的基数=5,那么S的动作集的基数|P(S)|=()。

    答案:32(2的5次方考察了行为集的定义,即行为集是由集合S的所有子集组成的集合)

    19、 令P={x|(x+1) 24 and x R}, Q={x|5 x2+16 and x R}, 那么下列哪个命题为真

    真的 ( )

    (1) QP (2) QP (3) PQ ⑷ P=Q

    答案:(3)(Q是集合R,P只是R的一部分,所以P是Q的真子集)

    20、以下哪个集合相等(

    )。

    (1) Aren{a,b} (2)A2two{b,a} (3)A3two{a,b,a} (4)A4two{ a,b, C}

    (5) A5={x|(xa)(xb)(xc)=0} (6) A6={x|x 2-(a+b)x+ab=0}

    答案:A1=A2=A3=A,A4=A5(集合是无序的、确定的、互斥的)

    21、如果AB=①,下列哪个结论不能成立?()

    (1) A=①(2) B= ①(3) AB ⑷ BA

    答案:(4)(差异的定义)

    22、判断下列哪个命题是正确的?()

    (1) AB=BA => A=B (2) 空集是任何集合的真子集

    (3)空集只是非空集的子集(4)如果A的一个元素属于B,那么A=B

    答:(1)(查空集和差集的相关知识)

    23、判断下列哪个命题是正确的?()

    (1) {①} € {①,{{①}}} (2) { ①} {①,{{①}}} (3) X {{①}}

    (4)①{①} (5) {a,b} € {a,b,{a},{b}}

    答案:(2), (4)

    24、判断下列哪个命题是正确的?()

    (1)所有空集都不等②{①}①(4)如果A是非空集,则AA成立。答案:(2)25、令 AAB =AHC, AAB=AAC,BeiSB( )C。

    答案:=(等于)

    26、下列哪个命题是正确的?( )

    (1)如果 AUB = AUC,则 B = C (2) {a,b}={b,a}

    (3) P(AAB) P(A) AP(B) (P(S) 表示 S 的行为集) (4) 如果 A 是非空集,则 AAUA 成立。

    答案:(2)

    27、A,E,C 是三个集合,下列哪个推理是正确的: (1) AB , BC=> AC (2) AB , BC=> A € B ( 3) A € B , B € C=> A €

    C

    答:(1)((3)的反例C是{{0, 1}, 0} B是{0, 1},A是1,显然结论是错误的)

    (二元关系部分)

    28、

    设 person = { 123, 4, 5, 6 }, B 两个 {1, 2, 3},从 A 到 UB 的关系

    R=<x,y>|x=y

    查找 (1)R (2) R -1

    答案:(1) R={,} (2) R 1={,}(查看二元关系的定义,R 1 是R的逆关系,即R 1

    =

    { } |

    欧元)

    29、 举一个关于集合 A 的等价关系的例子,它既是等价关系又是偏序关系。(

    )

    答案:A 上的恒等关系

    30、集合A上的等价关系的三个性质是什么?(

    ) 答案:自反性、对称性和及物性

    31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么?(

    )

    答案:自反性、反对称性和及物性(问题 29、30、31 都是测试定义)

    32、 假设 S={ 1 , 2 ,3 , 4 } , A 上的关系只有 = <1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4 >}找到 (1)RR (2)R -1.

    答案:RR={< 1,1 >, < 1,3 >, < 2,2 >, < 2,4 > }(检查 FG ={| t( € F

    欧元 G)})

    ■1

    R = {}

    33、

    认为

    A= {1, 2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除关系,求R={( )} R={,,,,,,,,,,,,,

    4>,,}

    34、设A= {1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},A到UB的关系R= {<x,y>|x= 2y},

    查找 (1)R (2) R -1.

    答案:(1) R={,,} (2) R 1 ={,,(36>}

    35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},A到UB的关系R={

    |x=y2},

    求 R 和 R1 之间的关系矩阵。

    100000

    R 1 = 0 0 0 1 0 0 010 的关系矩阵

    000000 000

    000

    36、集合 A={1,2,…,10} 上的关系 R={|x+y=10,x,y 为 ( )

    (1) 自反 (2) 对称 (3) 传递 (4) 传递)

    答:(2)(检查自反对称传递性的定义)

    (代数系统部分)

    37、 令 A={2,4,6} ,对 A 的二元运算*定义为: a*b=max{a,b} ,单位元为 () ,零元为( )。

    答案:2、6(单位元和零元的定义,单位元:e.x=x 零元:B.x=0)

    38、 令 A={3,6,9} ,对 A 的二元运算*定义为: a*b=min{a,b} ,单位元为 () ,零元为();

    答案:9、3

    (半组和组部分)

    39、 令 <G,*> 为一个群,则 (1) if a,b,x € G, ax=b , then x=(); (2) if a ,b,x € G, ax=ab , 湾 U x=()。

    答案:(1) a 1 b (2) b (考察群的性质,即群满足消除律)

    40、 设a为12阶群的生成元,则a 2 为( )阶元素,a 3 为( )阶元素。

    答案:6,4

    41、

    代数系统是

    群,则 G 的等元素为 (

    )。

    答案:单元元素(由 A

    2=a,可以归纳证明 aM=a*a^(n-1)=a*a=a ,所以等价元素一定是等价元素,否则如果 aAn=a 对所有都成立N, 那么对于n = 2也是成立的,所以行为等价元素必须是行为等价元素,并且在群中,除了酉元素,单位元素e)之外,不能有其他幂等元素

    42、设a为10阶群的生成器,则a 4为order()的元素,a 3为order()的元素

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