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  • 2013-3-6修改后发科学网,2018-1-10中译英

    逆运算促进数据集的扩展

    出版社:原稿,2008-10-19 PLANTA,中国科学院北京植物研究所,

    2013-3-6修改后发给科学网,2018-1-10中英互译,修改后转贴

    总结:

    回顾人类对数字的理解,反演在其中发挥了重要作用,并导致了一个需要证明的新命题:多元向量是数字。多元向量具有值并具有形状。形状与多维空间中的点一一对应;多元向量定义了对应的分量加减乘除四种运算,运算满足结合律、交换律和分配律。多元向量是标量(实数)到多维空间的扩展。标量是多元向量的特例,标量(i=1)óvector(i=m)。多元向量与对应分量相乘的运算形成一个乘法群,它可以用来监测和分析“多个简单巨系统”的动态。

    关键词:数集,逆,多元向量,简单巨系统,状态转移,R^n,R^m

    回顾数集的发展史,人类首先认识了自然数,N:1,2,3,…

    发现的第一个算法是加法:1+1=2。

    在得到加法运算的结果(和)后,为了逆向寻找原因,2=1+X,古人发现了加法、减法的逆运算:2-1=1。

    减法使我们对数字、负数(和零)的理解有了巨大飞跃:1-2=-1。

    人们对数字的理解,数字的集合,也是从自然数N延伸到整数Z。整数包括零、正整数(即自然数N)、负整数(-N)。如果用数轴来表示一个数集,此时的数轴就像竹子一样,一节一节。数集 Z 的元素,整数,与数轴上的部分一一对应。

    在反复加法运算的基础上,人们发现了乘法规则:从2+2=4,定义了2*2=4。

    在得到乘法(积)的结果后,古人为了求逆4=2*X的原因,发现了乘除法的逆运算:4/2=2。

    除法导致人类对数字的理解又一次大飞跃,即对分数的理解:1/2=0.5。

    数的知识也从整数扩展为分数,数集扩展为有理数,记为Q。有理数包括零、正有理数、负有理数,它们是有限的或(无限的)循环小数。在数集发展的这个阶段,数轴上的点非常密集,几乎覆盖了整个数轴。每个有理数在数轴上都有一个对应点,但数轴上还有无穷多个点,没有对应的有理数。

    在重复乘法运算的基础上,人们发现了幂和幂的运算规则:2^2=4。

    求幂(幂)的结果后,为了逆向求原因,X^2=4,人们求幂的逆运算自然数是整数的逆命题,平方根:4^(1/2)= 2。

    平方根导致了人类对数的理解又一次大飞跃,无理数得到了认识,数集也扩展到了实数。实数 R 包括有理数和无理数。无理数是无限的不重复小数(更严格的定义见程先生的博文),正负(当然e等不是平方根)。

    通过这种方式,实数与数轴上的点之间存在(几乎)精确的一一对应关系。我们称“数”为“点”的坐标,“点”为“数”的投影。

    线上的点是一元的。为了对应下面的向量,我们也称一元数为“实数”为标量。

    数轴上的点和标量之间存在一一对应的关系。所有实数(标量)构成数轴,一条线。

    此时,数的展开分叉:复平面和(实)平面。

    为了使代数方程x^2+1=0有解,人们引入了“虚数”。数集从数轴延伸到复平面。此外,在这个方向上,发展了一个四元数,i^2=j^2=k^2=ijk=-1。但是四元数放弃了交换律,jk=-kj。因此,在这个分叉处,数集的发展在四元数处停止。

    数集发展的另一个方向不是搞虚数,而是把实数扩展到2、3、……甚至倍数。

    通过求解多元线性方程,人们对数字(形状)的理解已经从线延伸到曲面、到体积、……到抽象的多维空间。人们把N个实数的有序组合称为“数组”,也称为N元向量,是N维空间中的一个点。这样,数轴上的点与实数一一对应,平面上的点与二元数组(二元向量)一一对应;三维空间中的点与三元素向量一一对应; … 多维空间中的点和多变量向量之间的一一对应。

    此时的多维空间称为“线性空间”或“样本空间”,记为R^n。在这个多维的“线性空间”中,只定义了加法和减法:“分量之和就是分量之和,分量之差就是差的分量”。但是没有定义严格意义上的向量乘法和向量除法。相反,它定义了点积和叉积(内积和外积),以矩阵为模型,并已被广泛使用并取得了成功。但是点积和叉积不是闭的,即乘积不属于同一个集合,它们不是同一个多维空间中的向量,不存在逆运算。此外,点积和叉积似乎不满足交换律。就像复数平面一样,数字向实数多维空间方向的扩展“似乎”也进入了死胡同。有些人已经定义了矩阵乘法来乘以相应的分量。这样定义的HAADAMARD矩阵有逆矩阵,但不能满足“数形对应”数集扩展的基本原理。而且,它似乎也违背了矩阵所描述的变量之间的线性关系的基本性质,应用和推广受到了限制。

    世界本质上是多元的和系统的,而不是真实的和可变的。为了理解系统,描述系统的动力学,反演系统的状态转移(例如,寻找草地退化的原因),人们定义向量在一个“多维变量空间”中的乘法(建模on addition): ‘The product of the components is the product of the product of the components of [Bai et al., 1997]’.因为这样定义的向量乘法(模拟对角矩阵)满足交换律、结合律、分配律;这样定义的乘法有一个单位元:由m 1s 组成的多元向量是单位元;有一个逆元素:分量的倒数。逆向量。因此,以这种方式定义的乘法具有逆运算:除法。并且分裂也被关闭了。也就是说,向量积和向量商仍然在同一个集合中。定义向量的乘法和除法的向量空间 R^m 可以提升为一个组,记为 G ,称为“多元向量乘法群”或“多元向量交换群”。在这个“多元向量乘法组”中,多维空间R^m,向量既有加减法,也有向量乘法、除法和取幂。由于运算是封闭的,因此它们的运算结果是唯一确定的,并且与m维空间中的点一一对应。 “数”与“形”在高维空间达到了新的统一。我们称“多元向量”为“多维空间点”的坐标,“多维空间点”是“多元向量(多元数组)”在多维空间中的投影。

    这样,在逆运算的驱动下,人类对数字的理解不断扩展,实现了几次大的飞跃:从正数到负数,从整数到分数,从有理数到无理数,从标量向量;数集的扩展 从点到线,从线到面,到体积,再到多维空间(线性空间,非线性空间),数字及其运算结果对应多维空间中的点的情况被实现。至此,数及其四种运算已经扩展到多维空间、m维空间。在多元向量乘法组G中,人们对数及其运算的认识完成了又一次的拓展和一次飞跃。人们对客观世界的认识和分析也从“变量分析”上升到“系统分析”:

    i=1, Y=f(x)óY(i)=fx(i), i=1,2,3,…m.

    多元向量​​乘法群最直接的应用之一是:通过向量除法,多元继承系统的“状态转移”有解(“918猜想”)。即多变量系统的连续性可以用多维变量空间中点的运动轨迹来描述,用多变量向量的乘积表示:

    如果 Y(k)*T(k)=Y(k+1),

    其中,Y(k),T(k)为多元向量,下标代表时间。 Y(k),表示系统在k时刻的状态,T(k)表示系统状态转移。

    通过移位(反转)有:

    T(k)=Y(k+1)/Y(k).

    也就是说,多变量继承系统的状态转移(T(k))是后验系统和前验系统的状态向量的商(Y(k+1)/Y(k))。

    而这种可以用多元向量来描述的多元、线性独立、杂乱无章的“系统”(如草原),却是最自然、最可持续的系统。因此,它应该是最原始的系统,也是最值得我们研究的。我们暂时称其为“简单的巨型系统”。所谓“简单”是因为变量是线性独立的,所谓“巨人”是因为变量很多。

    自然界中的一些资源竞争系统(变量因资源竞争而相互独立,因此无序,生产力低自然数是整数的逆命题,但可持续),如草原、股票市场,甚至人类社会,都可以认为是“简单”的巨型系统”。

    从上面的讨论中,或许我们可以提出一个(有待证明的)新命题:向量是标量的扩展,而标量是向量的特例。

    然后对于基本问题:“什么是数字”,添加一个新内容:与标量一样,向量也是数字。它具有数的所有属性:有值有形,可以进行加减乘除四种运算,运算满足交换律、结合律和分配律。

    因此,多元向量是数字,而矩阵和四元数不是数字,或者至少不是不完整的数字。

    参考资料:

    [1]《九八猜想》:《数学手册》高等教育出版社,1977,p. 1,第918.

    [2] Martin 和 Patricia Perkins:高等数学。柯林斯教育,1994 年。

    [3] 白,1997:T.Jay Bai,等,多维球体模型和瞬时植被趋势分析。生态建模, 97, 75-86. 参见 Web of Science 链接:

    p>

    【4】梁,2008,

    Sciencenet转贴:逆运算在数据集扩展中的作用,dsciencenet.cn/blog-333331-439738.html

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