2013-3-6修改后发科学网，2018-1-10中译英

逆运算促进数据集的扩展

出版社：原稿，2008-10-19 PLANTA，中国科学院北京植物研究所，

2013-3-6修改后发给科学网，2018-1-10中英互译，修改后转贴

总结：

回顾人类对数字的理解，反演在其中发挥了重要作用，并导致了一个需要证明的新命题：多元向量是数字。多元向量具有值并具有形状。形状与多维空间中的点一一对应；多元向量定义了对应的分量加减乘除四种运算，运算满足结合律、交换律和分配律。多元向量是标量（实数）到多维空间的扩展。标量是多元向量的特例，标量(i=1)óvector(i=m)。多元向量与对应分量相乘的运算形成一个乘法群，它可以用来监测和分析“多个简单巨系统”的动态。

关键词：数集，逆，多元向量，简单巨系统，状态转移，R^n，R^m

回顾数集的发展史，人类首先认识了自然数，N：1,2,3,…

发现的第一个算法是加法：1+1=2。

在得到加法运算的结果（和）后，为了逆向寻找原因，2=1+X，古人发现了加法、减法的逆运算：2-1=1。

减法使我们对数字、负数（和零）的理解有了巨大飞跃：1-2=-1。

人们对数字的理解，数字的集合，也是从自然数N延伸到整数Z。整数包括零、正整数（即自然数N）、负整数（-N）。如果用数轴来表示一个数集，此时的数轴就像竹子一样，一节一节。数集 Z 的元素，整数，与数轴上的部分一一对应。

在反复加法运算的基础上，人们发现了乘法规则：从2+2=4，定义了2*2=4。

在得到乘法（积）的结果后，古人为了求逆4=2*X的原因，发现了乘除法的逆运算：4/2=2。

除法导致人类对数字的理解又一次大飞跃，即对分数的理解：1/2=0.5。

数的知识也从整数扩展为分数，数集扩展为有理数，记为Q。有理数包括零、正有理数、负有理数，它们是有限的或（无限的）循环小数。在数集发展的这个阶段，数轴上的点非常密集，几乎覆盖了整个数轴。每个有理数在数轴上都有一个对应点，但数轴上还有无穷多个点，没有对应的有理数。

在重复乘法运算的基础上，人们发现了幂和幂的运算规则：2^2=4。

求幂（幂）的结果后，为了逆向求原因，X^2=4，人们求幂的逆运算自然数是整数的逆命题，平方根：4^(1/2）= 2。

平方根导致了人类对数的理解又一次大飞跃，无理数得到了认识，数集也扩展到了实数。实数 R 包括有理数和无理数。无理数是无限的不重复小数（更严格的定义见程先生的博文），正负（当然e等不是平方根）。

通过这种方式，实数与数轴上的点之间存在（几乎）精确的一一对应关系。我们称“数”为“点”的坐标，“点”为“数”的投影。

线上的点是一元的。为了对应下面的向量，我们也称一元数为“实数”为标量。

数轴上的点和标量之间存在一一对应的关系。所有实数（标量）构成数轴，一条线。

此时，数的展开分叉：复平面和（实）平面。

为了使代数方程x^2+1=0有解，人们引入了“虚数”。数集从数轴延伸到复平面。此外，在这个方向上，发展了一个四元数，i^2=j^2=k^2=ijk=-1。但是四元数放弃了交换律，jk=-kj。因此，在这个分叉处，数集的发展在四元数处停止。

数集发展的另一个方向不是搞虚数，而是把实数扩展到2、3、……甚至倍数。

通过求解多元线性方程，人们对数字（形状）的理解已经从线延伸到曲面、到体积、……到抽象的多维空间。人们把N个实数的有序组合称为“数组”，也称为N元向量，是N维空间中的一个点。这样，数轴上的点与实数一一对应，平面上的点与二元数组（二元向量）一一对应；三维空间中的点与三元素向量一一对应； … 多维空间中的点和多变量向量之间的一一对应。

此时的多维空间称为“线性空间”或“样本空间”，记为R^n。在这个多维的“线性空间”中，只定义了加法和减法：“分量之和就是分量之和，分量之差就是差的分量”。但是没有定义严格意义上的向量乘法和向量除法。相反，它定义了点积和叉积（内积和外积），以矩阵为模型，并已被广泛使用并取得了成功。但是点积和叉积不是闭的，即乘积不属于同一个集合，它们不是同一个多维空间中的向量，不存在逆运算。此外，点积和叉积似乎不满足交换律。就像复数平面一样，数字向实数多维空间方向的扩展“似乎”也进入了死胡同。有些人已经定义了矩阵乘法来乘以相应的分量。这样定义的HAADAMARD矩阵有逆矩阵，但不能满足“数形对应”数集扩展的基本原理。而且，它似乎也违背了矩阵所描述的变量之间的线性关系的基本性质，应用和推广受到了限制。

世界本质上是多元的和系统的，而不是真实的和可变的。为了理解系统，描述系统的动力学，反演系统的状态转移（例如，寻找草地退化的原因），人们定义向量在一个“多维变量空间”中的乘法（建模on addition): ‘The product of the components is the product of the product of the components of [Bai et al., 1997]’.因为这样定义的向量乘法（模拟对角矩阵）满足交换律、结合律、分配律；这样定义的乘法有一个单位元：由m 1s 组成的多元向量是单位元；有一个逆元素：分量的倒数。逆向量。因此，以这种方式定义的乘法具有逆运算：除法。并且分裂也被关闭了。也就是说，向量积和向量商仍然在同一个集合中。定义向量的乘法和除法的向量空间 R^m 可以提升为一个组，记为 G ，称为“多元向量乘法群”或“多元向量交换群”。在这个“多元向量乘法组”中，多维空间R^m，向量既有加减法，也有向量乘法、除法和取幂。由于运算是封闭的，因此它们的运算结果是唯一确定的，并且与m维空间中的点一一对应。 “数”与“形”在高维空间达到了新的统一。我们称“多元向量”为“多维空间点”的坐标，“多维空间点”是“多元向量（多元数组）”在多维空间中的投影。

这样，在逆运算的驱动下，人类对数字的理解不断扩展，实现了几次大的飞跃：从正数到负数，从整数到分数，从有理数到无理数，从标量向量；数集的扩展 从点到线，从线到面，到体积，再到多维空间（线性空间，非线性空间），数字及其运算结果对应多维空间中的点的情况被实现。至此，数及其四种运算已经扩展到多维空间、m维空间。在多元向量乘法组G中，人们对数及其运算的认识完成了又一次的拓展和一次飞跃。人们对客观世界的认识和分析也从“变量分析”上升到“系统分析”：

i=1, Y=f(x)óY(i)=fx(i), i=1,2,3,…m.

多元向量​​乘法群最直接的应用之一是：通过向量除法，多元继承系统的“状态转移”有解（“918猜想”）。即多变量系统的连续性可以用多维变量空间中点的运动轨迹来描述，用多变量向量的乘积表示：

如果 Y(k)*T(k)=Y(k+1),

其中，Y(k)，T(k)为多元向量，下标代表时间。 Y(k)，表示系统在k时刻的状态，T(k)表示系统状态转移。

通过移位（反转）有：

T(k)=Y(k+1)/Y(k).

也就是说，多变量继承系统的状态转移（T(k)）是后验系统和前验系统的状态向量的商（Y(k+1)/Y(k))。

而这种可以用多元向量来描述的多元、线性独立、杂乱无章的“系统”（如草原），却是最自然、最可持续的系统。因此，它应该是最原始的系统，也是最值得我们研究的。我们暂时称其为“简单的巨型系统”。所谓“简单”是因为变量是线性独立的，所谓“巨人”是因为变量很多。

自然界中的一些资源竞争系统（变量因资源竞争而相互独立，因此无序，生产力低自然数是整数的逆命题，但可持续），如草原、股票市场，甚至人类社会，都可以认为是“简单”的巨型系统”。

从上面的讨论中，或许我们可以提出一个（有待证明的）新命题：向量是标量的扩展，而标量是向量的特例。

然后对于基本问题：“什么是数字”，添加一个新内容：与标量一样，向量也是数字。它具有数的所有属性：有值有形，可以进行加减乘除四种运算，运算满足交换律、结合律和分配律。

因此，多元向量是数字，而矩阵和四元数不是数字，或者至少不是不完整的数字。

参考资料：

[1]《九八猜想》：《数学手册》高等教育出版社，1977，p． 1，第918.

[2] Martin 和 Patricia Perkins：高等数学。柯林斯教育，1994 年。

[3] 白，1997：T.Jay Bai，等，多维球体模型和瞬时植被趋势分析。生态建模, 97, 75-86. 参见 Web of Science 链接：

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【4】梁，2008，

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