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  • 无穷限积分与无界函数积分理尚云(青岛科技大学)

    2009年6月第30卷第3期,青岛科技大学学报(自然科学版),青岛科技大学(自然科学版)V01.30 No. 3 Jun. 2009 文章编号: 1672-6987 (2009)03-0278-03 反常积分中值定理 尚云 (青岛科技大学数理学院, 山东青岛 266061) 摘要:成立并证明了无穷大anomalies 扩展了无界函数积分和反常积分的均值定理,推广了闭区间上连续函数的性质,得到了无穷区间上的一些相关结论。 关键词:反常积分;积分均值定理;连续函数;收敛图分类:o 174标识码:ath m m an an an an valu th th th th th th m m m m m m m m m m m m m m imp g g g g g g alshang un un un un(((g g of of of of of of of of of math matics matics matics matics andph andph andph andph andph andph andph sics。qigdaouniv sics。qigdaouniv sit sit mproperintegralofinfinite interval and un—on bounded functionclosed interval areestablished andproved.Some propertiesof continuousfunctiongeneralized ,somesimilarconclusion of infinte intervalweregotten.integral;meanvalue theorem for integral;continuousfunctions;Key words:improperconver’gence反常积分作为定积分的推广,在高等数学中有着较为广泛的应用。

    无限积分和有缺陷的积分统称为反常积分,即无限反常积分和无界函数反常积分,是积分理论的重要内容。异常积分的发展过程是有帮助的。本研究从定积分中值定理的分析入手,建立并证明了无穷反常积分和无界函数反常积分的中值定理。 此外,对闭区间上连续函数的一些性质进行了推广,得到了无穷区间上的一些相关结论。 1 改写引理 1 的结论形式得到引理 2。 引理 2 如果函数 (z) 在闭区间 [口,6] 上与 r6d 4 连续,则存在 0<0<1,使得I,(z)dx=(6-a)f[-b-O (b 一咬)]。引理 3'21 如果函数 y-factory(z) 在 [mouth, +oo) t'+oo 上连续,并且存在反函数 Y=factory 1(z),则 lJ 4f(x)dxr, (口)收敛 一个充分必要条件是缺陷积分Id 0 广O厂1(x)dx(或I厂1(z)dx)J,(I)r。 }—J 在(z—0 为缺陷点)收敛,r”4)l, (z)dx=I 引理 4t33 工厂 1(z)dx—af(a)。若函数 Y=因子 (z) 严格 J0 初步知识引理 1 [1] on [I, 6] 若函数 (z) 在闭区间 [I, 6] 上连续增加(减少),则其反函数y = Factory 1 (z) 在对应的定义区间 Ef(a), Factory (6)]([, (6).

    , (嘴)]) 连续。引理 5III 的续,则存在一个取 ∈( 口,6) 的点,使得 I factory(z)dx=,(e)(6 1 口)。令 (z) 在 [口, +oo),收稿日期:2008-07-22 作者简介:尚韵(1981~),女,助教万方资料第3期尚韵:异常积分中位数定理279 若(x)dx收敛,则有一个序列 {self) :有 ≥ 嘴,lim 有 = + o。 , 使得 limf(, e.) 为 0。引理 6 [吴集一个函数,(z) 在闭区间 [mouth, 6] 上连续,工厂 (n)≠, (6) . 如果 f 介于, (口), factory (6)(,(口)<f<,(6)or,(6)<c<,(口)之间的任意实数)),则在 (口,6) 中至少有一个点 z. 在其中,所以 f(xo)-f.2 主要结果是推广定积分的中值定理,得到无界函数异常积分的中值定理 定理1 若,(z)在(口,6]上连续,口为工厂(z)的缺陷点,J f(x)dx收敛,则有(嘴,6)上至少有一个点e,使得If(x)dx是工厂(汽车)(6个)。证明通过积分I的定义,(z)dx=limIm( z)dx, 所以 lf(x)dx 是 1 只是 lim+ 一次又一次. [小 ba, (z) 如:1im−o+Lk−( 嘴 +.) 1-l6 一个嘴 b-t.o + J 小., "7" "b a (嘴 + £). Jfh, (z) dz]: Pan {harm・feb-O (b–a– e)]}(0<day<1)= b—nlimf[b—O(b1kou1E)](o<kou<1).

    既然If(x)dx收敛,等式左边存在,等式右边也应该存在。如果工厂 (z) 在 (mouth, 6) 上是连续的,则 lim。尤其是一天6(6个嘴加a英镑)] = fib – O(b – a) 3 Jiting = b – O(b个嘴)反常积分中值定理是指,那么Factory (p=limf[byixi(61kou1£)], hand ∈ ( kou, easy). 那么 (kou,6) 上至少有一个点 e, 使得 If(x)dx=, (take) (6—kou). 同样可以证明, (z)在[口,6)上连续,b为(z)的缺陷点 定理2 若,(z)在[口,6)在[口]上连续,b为缺陷点(z),如果 lf(x)dx 收敛,那么 (口,6) 上至少有一个点 e 使得 }f( x) dx 一个,(take) (6 个嘴)。 : 假设,(z) 在 [mouth, 6] 上除了点 c (a<f<6),点 f 是,(z),如果两个反常积分 f(x)dx,If( x)dx 收敛,不保证能找到一个点取 ∈ (口,6),使得 lf(x)dx =, (e) (6 咬一口)。例如:工厂 ( z) a gui,, (z) on [-1, 1] 是连续的,除了 0 点 4x,z-0 是 (z) 的缺陷,l 命中 dx=J—j^, r 第一,“:出入第一都收敛,并且£.1dz=L0ov., 1]的值跑了工厂(z)的ge重复1为(−∞, VX−1]U[1, +oo),即找不到一个点e∈(−1, 1),所以(e )・E1 一(一1)]一,(车)・2—0。

    以上得到了无界函数异常积分的中值定理。下面以反函数为工具,利用无界函数的异常积分与无穷极限异常积分的关系,得到无穷极限异常积分的均值定理。定理 3. 如果 Y-factor(z) 是 [I, +oo) 上的严格单调连续函数,并且 l(z)dx 收敛,则至少存在 ~ 点 £∈(I, +∞) 使得 lf (x ) dx =, (嘴) · (e 一张嘴)。通过引理 4 证明 (1)如果 Y1,(z) 是在 [I,+∞) 上单调递减的连续函数,则反函数 Y=Factory1(z) 在相应的定义域中(O , , (mouth)] 是连续的。因为 If(x)dx 收敛,根据引理 3,缺陷集成工厂 1(x)dx(x-0 是缺陷点)收敛。并且根据定理 1,至少有 A little knock ∈ (0,, (mouth)),所以 } factory 1 (x) dx one factory 1 (knocking) · if (a) one o] one factory 1 (7) · factory (口), 即存在 e1(k)∈(口,+oo), 这使得 I1(x)dx 取 ��,(n). 由引理 3, 所以 lf(x)dx = 1(x) ) dx—af(a)=hand・factory(mouth)一张嘴・factory(disk)=,(嘴)・(刮一口).(2)如果Y=factory(z)是■,+co ) on 对于单调递增的连续函数,根据引理 4,反函数 Y = 1(z) 在相应的域 If(a), o) 中是连续的。 ,积分280,青岛科技大学学报(自然科学版),第30卷,I厂1(z)dx(x-0为缺陷点)收敛。

    并且由定理2J,(4)知道至少有一个点Diao ∈ (, (嘴), 0),使得0I工厂1(x)dz 1工厂1( 7)@ >・Lo1/(嘴)]=J,’d) 一个广角1(敲)・,(嘴),即有导=厂1(rp∈(嘴,+..), f’Or”4)设l厂1(x)dx=-e·厂(口),即我厂1(x)dx=J”[口)J 0 get·f(a) .r+o.Guang, (4) And by Lemma 3, lJ 4, (z)dx-I Factory 1(z)dx-J Uaf(a)=take・,(口)−a・Factory (口)一工厂(口)·(咬一口). 推广闭区间上连续函数的中值定理和极大值定理,得到无限区间上连续函数或均匀连续函数的相似性质。定理 4. 令 (z) 为 [mouth, +. .) 在非负连续 r+∞ 函数上,如果 (x)dx 收敛,则工厂 (z) 必须能够获得介于 0J 4 和, ( )。证明当 , ( ) a 为 0 时,取 z 得证明。当 ,( )≠0 时,因为 ,(z) 是非负函数[a,+..) 上的化合,所以 ( ) > 0。令 A 介于 0 和 , (n) 之间的任意值,即 0 < A N时,有I植(&)a 0 I<A。

    因为工厂(z)是一个非负函数,所以,(Mao) a, make (否则,如果竹 > N 总是有,(ji)=,(嘴),这与 liraf(&)-0≠f(a) 矛盾)。因此,factory(z) 是闭区间 [mouth, 6] 上的连续函数,factory(mouth)≠factory(6) 和 factory(6)n。广州T令F(z):如果(t)dt。因为 / (z) 是 [嘴, +. . ), 那么, (z)=, (z)≥0, 所以 F(x) 在 [n, +o. ) 单调递增。并且 F(mouth)=If(t)dt=Jd0,所以 F(z)≥0 on k,+00)。 r + ∞ 因为 If(x)dx 收敛,它由无限反常积分 J4 的定义可知,跛十。 . JI f(t) dt = lira F(z) 存在,我们不妨设 4 J’ + ∞lim F(z) – A。从极限的定义可知,当取 £=1 时,X> a存在,当z>X时,有IF(z)-AI<1,即F(z)<A+1。

    因为 F(z) 在 [mouth, +o. ) 是单调递增的,所以对于任何 z∈[口,+. . ),其中 F(z)0反常积分中值定理是指,使得 J_-ZZI。 27-z。当I<铪时,有If(x)-f(x.)I<1,即f(x.)-1<,(z)<f(x.)+1。取 N=÷(A+1),则对于竹子=N+1,F(x.)=l. f(t)dt=J 4J r ∽ 出+r slack. 4J.^1J 因为, ( £)≥o,则r离开,(t)out≥o。而在(Lei-d,厶)上,总有,(z.)-1 (诅咒11)・艿-N・的z∈[n,+o.),有F(z) <A+1 结论自相矛盾,故假设不成立,即(z)在[mouth,+oo)上有上界待证。参考文献 [1] 于大鹏.积分中值定理的推广[J].玉溪大学学报:社会科学版,1997(2):47-48. [2] 唐国基. 无限积分与休闲积分的关系[J3. 广西民族大学学报:自然科学版. 2002) (s 1): 22-24.1-33 华东师范大学数学系。数学分析(上)[M]。北京:高等教育出版社杜。1991。[4]胡诚。1'f (x)ax 收敛的必要条件[J]. 大学数学 1992J4 (4).

    82.84。 , (6)=, (rat)≠f(a), 即 0<Factory(6)<A<,(口)A<,(n), 所以从引理 6, 在 (嘴,6)中至少有一个A+1。因此,F(x.)≥A+1,类似于任意异常积分的中值定理作者:作者单位:期刊名称:英文期刊标题: 年,卷(期): 引文: 尚云 尚云 青岛科技大学数理学院 山东 青岛 266061 青岛科技大学学报(自然科学版)2009, 30(3)0篇参考文献(4条)1.于大鹏积分中位数定理的推广1997(02)2.唐国基无限积分与休闲积分的关系[ [期刊论文]-广西民族大学学报(自然科学版)2002(z1)3.华东师范大学数学分析(上)19914.胡成∫+∞af ( x 收敛的必要条件)dx 1992(04) 本文链接:Autho正式使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:a5b20d78-47bd-4a5b-babe-9dca010f2821 下载时间:2010年8月6日

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