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  • 【期中复习】填空题每小题3分,共30分1求一次数不超过4次的多项式满足

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    1、模拟题1一、填空题,每小题3分,共30分 1 3个不同节点的高斯求积公式的代数精度为分度。 2 设,则 = .,= _.3 y=f 的均差商已知,则均差=.4 当 n=4 已知时,NewtonCotes 求积公式的系数为: then.5 改进后求解初值问题的欧拉法是阶法; 6 求解线性代数方程的 Gauss-Seidel 迭代公式为,若取,则 .7 求方程根的牛顿迭代格式为 .8 是以整数点为节点的拉格朗日插值基函数,则 = .9 求解方程组的简单迭代方案收敛的充要条件为 .10,则三次牛顿插值多项式为 ,其误差估计公式为 次不超过 4 的多项式满足: , .2 构造的最高代数形式是求

    2、 乘积公式,求其代数精度。 3 用牛顿法求区间内方程的根,要求。 4 用最小二乘法求一个经验公式,如拟合下列数据: 1925303819.032.349.073.35 求解系统通过矩阵的直接三角分解方程。 6 用数值积分法建立求解初值问题的如下数值公式,其中。三、证明问题10分对于任意,函数的导数存在,对于任意满足,迭代格式收敛到根。参考答案一、填空题15; 2.@ > 8, 9 ; 3.; 4. ; 5. 两个; 6. , 7. ; 8. ; 9. ; 10.二、综合题1差商表:11122151515575720204272152230781其他方法:设置顺序,找a和b.2取,使公式准确,

    3、得到: , , , .当,公式为左右;当,公式在左边,公式在右边 公式的代数精度。 3 这个方程在区间中只有一个根,在区间 2,4 中。假设, , 牛顿法的迭代公式是, 得到, 得到。 4、。求解方程组,其中,解为: 所以, .5 可以通过矩阵乘法得到解。可以求解下三角方程组,求解上三角方程组可以得到原方程组的解, .6 初始解 取值问题等价于如下形式,取,有,可以为通过使用辛普森求积公式获得。 三、问题的证明将被写成,因为 ,所以迭代格式收敛到根。模拟试卷二一、填空题每小题3分,共30分。 1 如果分别用2.718281和2.718282作为数字的近似值,则分别有1位和2位有效数字;如果设置为 2,则 = _,=.3 对于方程组,Jacobi 迭代

    4、 方法的迭代矩阵设置为=_.4,则差商=_,=_.5已知,则条件数_.6为做数值乘积公式两点的代数精度最高,则乘积的基点应为 =_, =_7 初值问题近似解的梯形公式为 8。 求根的弦截断法迭代公式方程为 9. 计算积分,取4位有效数字,梯形公式计算的近似值为,辛普森公式计算的结果为任意非奇异矩阵10的条件数,必须大于大于等于二、综合题 每题10分,共60分 1 证明方程 区间有且只有一个根。如果用二分法的误差求误差不超过近似解,需要多少次迭代? 2 知道常微分方程的初值问题:尝试改进欧拉法计算的近似值,取步长。 3 使用矩阵分解法求解方程组。 4 用最小二乘法求一个经验公式的形式,使其成为以下数据

    5、fit.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 假设一个方程组,并尝试检查 Jacobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的收敛性以求解该方程。 6 用幂法计算矩阵最大特征值的近似值,取初始向量,迭代两步得到近似值。 三、证明问题10分 已知的迭代公式为: 证明:对所有事物,且序列单调递减,所以迭代过程收敛。参考答案一、填空题16、7; 2. 9, ; 3. ; 4. 1, 0; 5. 9; 6. , ; 7.;8.; 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1二、 综合问题 1 求解阶,则,因此区间内只有一个根。用二分法求一个误差不超过的近似解,然后求解

    2.2@>不等式可以得到,所以迭代14次就够了。2、解:3 可以通过矩阵乘法得到解, ,可以得到方程组,然后可以得到方程组。 4 求解命令,则很容易得到正规方程组并求解。因此,要得到的经验公式是。 5 解 1 因为内部有根,所以 Jacobi 迭代法不收敛。 2 正因为如此牛顿迭代有m重根时,使用了 Gauss-Seidel 迭代法。该方法收敛。 6 解是因为,因此,并且,因此得到,。三、证明:因为so for all,so,即序列单调递减,有下界,所以迭代过程收敛。模拟试卷三一、填空题每小题3分,共30分。 1 如果是真值的近似值,有有效位,相对误差极限是 ,如果要精确到小数点后3位牛顿迭代有m重根时,需要除法。 3 n节点高斯求积公式的代数精度为阶

    2.6@>.4 令5的取值范围为5,使迭代方案局部收敛到5。令线性方程组有唯一解,不考虑系数矩阵扰动,如果右手方程组项 保证微扰的相对误差,保证解的相对误差; 6 给定一个线性方程组,求解线性方程组的 Jacobi 迭代公式为,Gauss-Seidel 迭代公式为插值型正交公式的正交系数之和为 8。数值求解初值问题的Runge-Kutta公式为9.已知函数,若将此函数表作为牛顿插值多项式,则插值多项式的系数为10。分解为,其中为下限正对角元素的三角矩阵,则取值范围为 . 二、综合题每题10分,共60分。 1. 用牛顿法在区间内求方程的根。要求。 2. 建立一个已知有解的方程组。如果右侧有小扰动,二、

    2.9@>尝试估计结果解的相对误差。 3. 使用辛普森公式计算积分的近似值,估计截断误差。 4. 假设函数在区间 0, 3 有一个四阶连续导数,尝试 Hermitian 插值法,找到一个次数不高于 3 的多项式,使其满足,并记下误差估计。 5.给出经典雅可比法得到的特征值的第一次迭代运算。 6 用梯形法求解初值问题,证明其近似解是,证明收敛到当时初值问题的精确解。 三、证明问题 10 分 如果有不同的实根,证明它。参考答案一、填空题1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4.; 5. ; 6. , 7. ; 8. ; 9. 2.4; 10. 二、综合题1 这个方程在区间只有一个根,在区间2,4。设计,牛顿

    9、方法的迭代公式是,get,get。 2 解,根据公式,有 3 , ,截断误差为 4,多项式可以根据给定条件用插值法确定,待定函数可以根据题意确定,作为辅助函数: ,则有一个四阶导数,并且至少有 5 个零作为双零。反复应用罗尔定理,我们知道至少有一个零,所以我们得到。因此,误差估计公式为 , 。 5 先取,因为,所以有,然后,6.梯形公式是,通过,得到,所以,用上面的梯形公式用步长计算,所以有,所以三、证明证明 既然有不同的实根,我们就记录 ,然后,从差商和导数的关系就知道了。 Mock paper 4 一、 填空题 每个子题3分,共30分 1 为了减少运算次数,公式要改写为,减少四舍五入的效果错误,公式应改写为 . 2,。 3 在根附近有一个连续的二阶导数

    10、,并且,此时的迭代过程是线性收敛的,那么此时的迭代过程是二次收敛的。设4,则满足时,用列枢轴法求解线性方程组时有5,在第k1步消元时,取增广矩阵第k列的枢轴元素,如那。 6 若函数已知,则 =, = ,二次牛顿插值多项式 7 解方程,若能表示,则用简单迭代法求根,则满足,近似根序列必收敛. 8点插值数值积分公式的代数精度至少为次,最高不超过次。 9.用欧拉计算格式写出初值问题 10.求解初值问题的梯形法是阶法二、综合题每题10分,共60分1证明方程在区间 1,2 中存在唯一根 x*,使用牛顿迭代法求 x*。 2 用柱枢轴法求解线性方程组; 3 给定数据x=0,1,2,3,对应的函数值分别为y=1,3,2,4,求三次Lager

    11、Rangian 或 Newton 插值多项式。 4.如果有矩阵,用归一化的方法求其最大特征值和对应的特征向量。注意:迭代 4 次。 5. 使用改进的欧拉法求初值问题。 6.给定数据,找到至少两个乘法拟合多项式。 三、证明问题10.设线性方程组为,(1)证明用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解该方程组要么同时收敛,要么同时发散;(2) 当它们同时收敛时,比较它们的收敛速度。参考答案一、填空题1. , ; 2. 6, 6; 3.@ > , ; 4. ; 5. ; 6. 2, 1, ; 7. ; 8. ,; 9. 10. 两个二、综合题1.根据牛顿的迭代公式,取x0=1.2,得到或得到,所以.,计算:;,计算:,,计算:;,计算:;,计算: ; , 计算: 6 设一阶拟合多项式为或基函数为 AND, 做最小二乘拟合: , 得到正规方程组, 求解, 所以。三、证明问题:系数矩阵,记住第1次雅可比迭代矩阵的特征方程为,即,or.when,;when,;此时,所以。特征e Gauss-Seidel 迭代矩阵的方程是,即,或,求解,所以。那么,那么,;那么,这两种迭代方法要么同时收敛,要么同时发散。 2 当 , 同时收敛 , 并且, 所以 Gauss-Seidel 迭代法比 Jacobian 迭代法收敛得更快。 .

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